Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
виде (5.1), имея в виду, что силы (Xi7 Yt, Z{) зависят только от
мгновенного положения системы. Для простоты предположим, что они зависят
только от положений и 'скоростей частиц, так что силы - функции 6Р
величин
Спрашивается: какие функции допустимы?
Частично ответ на этот вопрос дает третий законг) Ньютона. Этот закон
ограничивает возможные действующие силы, которыми действуют друг на друга
две частицы, А и В, требованием, чтобы силы были направлены по прямой АВ
в противоположных направлениях и имели одну и ту же величину. Это
эквивалентно утверждению,
Э Цит. в сноске к § 26.
xji Mh zj
dxj dyj dzj
' 7 ' 7 ' 7"
at at a
(;=1, 2, ... ,P). (5.7)
§ 5] НЬЮТОНОВА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ 27
что (Xi, Yi, Zi) имеют вид, определенный уравнениями (5.5) и (5.6), но
это не дает никакой информации о природе коэффициентов Аи, кроме условия
их симметрии Aij = Aji, они могли бы быть произвольными функциями
переменных (5.7). Более полный ответ на этот вопрос дает следующая
аксиома однородности и изотропности пространства:
совокупность уравнений, определяющая движение системы, имеет одну и ту же
форму для всех координатных систем (х, у, z), полученных одна из другой
переносом и вращением осей.
Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему
прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных
преобразований (ср. § 9). Приведенная выше аксиома требует инвариантности
уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при
условии, что это - собственные преобразования (т. е. группа
преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно
переноса начала координат означает однородность пространства, а
инвариантность относительно вращения - его изотропность.'Инвариантность
по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное
преобразование) означала бы эквивалентность винтов с правой и левой
резьбой.
Чтобы узнать, каков самый общий тип системы сил, удовлетворяющей
приведенной аксиоме, заметим, что рассматриваемое преобразование точно
соответствует перемещению твердого тела. Таким образом, аксиома
выполняется, если система сил "жестко связана" с мгновенной конфигурацией
частиц. Чтобы увидеть, что это означает, рассмотрим систему четырех
частиц, например, на рис. 1.
Пусть А, В, С, D - положения частиц в момент времени t, а скорости их -
четыре вектора, обозначенные через г. Мы должны определить четыре
вектора, обозначенные через F, т. е. силы, действующие на частицы.
Аксиома требует, чтобы эти силы можно было определить, зная тетраэдр ABCD
и четыре вектора v, жестко связанные с этим тетраэдром. При этом
зависимость должна быть такой, что если эти определяющие элементы все
вместе жестко перемещаются в пространстве, то силы F также
28
ВВЕДЕНИЕ
жестко переносятся вместе с ними. Идея предельно проста; понятия
элементарной евклидовой геометрии заменяют формальные уравнения. Если мы
отказываемся от третьего закона Ньютона, но принимаем аксиому
однородности и изотропности, то допускаем любую
Рис. 1. Взаимодействие в ньютоновой динамике.
систему сил, построенную таким образом. Если потребовать также
инвариантность по отношению к отражениям, то при отражении определяющих
элементов относительно плоскости силы должны отражаться относительно этой
же плоскости.
Третий закон Ньютона совместим с аксиомой однородности и изотропности, но
он ограничивает силы взаимодействия между частицами: они должны быть
направлены по линиям, соединяющим частицы и, таким образом, закон не
позволяет охватить электродинамические взаимодействия, кроме простого
притяжения и отталкивания Кулона. Однако электродинамические
взаимодействия можно истолковать релятивистски; в систематическом
развитии ньютоновой динамики мы примем третий закон Ньютона, так как
иначе мы не смогли бы доказать основные теоремы об импульсе и моменте
импульса (§ 44).
5] НЬЮТОНОВА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ 20
Переходим теперь к релятивистской динамике (РД) системы. Требование,
чтобы интервал между близкими событиями имел форму (4.2), ограничивает
класс допустимых систем координат (х, у, z, t) теми системами, которые
получаются из данной преобразованием Лоренца (§ 106). Как в НД мы
требовали выполнения аксиомы однородности и изотропности пространства,
так в РД формулируем аналогичную аксиому для пространства - времени.
Для замкнутой или изолированной системы частиц аксиома однородности и
изотропности пространства-времени имеет следующую формулировку:
уравнения, определяющие движение системы, должны быть инвариантны
относительно собственного преобразования Лоренца1).
Преобразование Лоренца можно рассматривать как перенос и вращение в
пространстве - времени, как преобразование твердого тела,
"твердость" которого понимается в смысле интервала (4.2). Отсюда, точно
так же как возможные ньютоновы системы сил можно рассматривать с помощью
жесткой конструкции в пространстве, так и возможные системы
