Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
of relativistic particle mechanics. Pacif. J. Math. 4, 563-601 (1954).
2*
20
ВВЕДЕНИЕ
Однако когда этот физик оказывается лицом к лицу с двумя различными
теориями и стремится понять, в чем они согласны и в чем расходятся, он
вынужден обращаться к аксиоматике для того, чтобы понять это согласие и
это расхождение. Можно сказать, что аксиоматика вторгается в жизнь и
вызывает интеллектуальное возбуждение за пределами ограниченного круга
специалистов по аксиоматике только тогда, когда серьезно обдумывается
создание новых теорий путем изменения аксиом - новых теорий, имеющих
физическое значение. Поэтому хотя эта книга не содержит такого изложения
классической динамики, которое могло бы рассматриваться как
аксиоматическое в современном смысле слова, тем не менее отношение между
ньютоновой и релятивистской динамикой настолько интересно, что два
следующих параграфа посвящены сравнению этих динамик на основе совершенно
аксиоматического подхода.
§ 4. Ньютонова и релятивистская динамика частицы. В этом и следующих
параграфах, мы, ради краткости, вместо слов "ньютонова динамика" будем
писать НД, вместо "релятивистская динамика" - РД.
Слово "событие" употребляется и в НД и в РД. Математически можно
представить событие совокупностью четырех чисел (координат) или понятием,
эквивалентным этому,- точко i в четырехмерном пространственно-временном
континууме, который представляет физически все возможные события.
Физическое понятие события есть явление, происходящее в весьма малой
области пространства в течение очень малого промежутка времени.
В дальнейшем в этом параграфе (а также и во всей книге) понятия
рассматриваются только как математические понятия. Как объяснено в § 2,
соответствующие физические понятия иногда чрезвычайно сложны; мы не можем
рассуждать о них с точностью, удовлетворяющей современным требованиям.
Для этих физических понятий читатель может составить свой собственный
трехстолбцовый словарь (см. § 2);- если требуемого понятия не окажется в
третьем столбце, его нужно позаимствовать из других источников
информации.
§ 4] НЬЮТОНОВА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ 21
В НД событие имеет абсолютное положение и абсолют-ное время (t).
Совокупность всевозможных положений образует абсолютное пространство. Два
абсолютных положения определяют расстояние, и абсолютное про^ странство
будет евклидовым, если это расстояние определяет метрику. Это означает
существование координат х, у, z таких, что элемент длины da имеет вид
1
da = (dx2 + dy2 + dz2)2 . (4-1)
Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными
событиями и множеством четверок чисел х, у, z, t, изменяющихся в пределах
- оо, + оо.
В РД (здесь рассматривается только специальная теория относительности)
два события определяют интервал. Существуют координаты (х, у, z, t),
изменяющиеся от -оо до +оо, так что интервал ds между двумя близкими
событиями есть1)
ds = | dx2 + dy2 + dz2 - dt2 |V*. (4.2)
Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными
событиями и такими четверками чисел (х, у, z, t),
И в НД и в РД употребляется слово частица. История частицы это кривая в
пространстве - времени (мировая линия); она может быть описана
уравнениями вида
х = x(t), у = y(t), z = z(t). (4.3)
В НД производные функций в уравнениях (4.3),
т. е. компоненты скорости, могут принимать любые значения. В РД
эти производные ограничены условием
dx\2 , (dy\2 , ( dz\2 <и (4_4)
dt j \ dt j \ dt
так что вдоль мировой линии частицы имеем
1
ds = (dt2 - dx2 - dy2 - dz2)2; (4-5)
!) Обычно в формуле (4.2) перед dtf стоит множитель с2 (ср. § 107), по мы
можем положить c-i, изменив единицы, в которых измеряется f.
22
ВВЕДЕНИЕ
это - так называемый элемент собственного времени. Мы можем использовать
собственное время в качестве параметра мировой линии, записав ее
уравнения в виде
х = x(s), у = y(s), z = z(s), t = t(s) (4.6)
вместо уравнений (4.3). Эти четыре функции удовлетвг" ряют уравнению
iV=1. (4.7)
ds) \ds ) \ds ) \ ds J
Как в НД, так и в РД употребляется слово масса (в РД йспользуется термин
"масса покоя" или "собственная масса", но здесь мы будем говорить просто
"масса"). Это - число т, связанное с частицей1); оно может быть
постоянным, а может и изменяться вдоль мировой линии' частицы.
В НД на частицу действует сила с компонентами
(X, Y, Z). В этом случае мировая линия удовлетворяет
следующим уравнениям движения:
i(md^) = x, d(m^) = Y.
dt \ dt J dt\ dt)
~lm~) = Z. (4.8)
dt\ dt )
Если (X, Y, Z) - заданные функции величин
dx dy dz
m, x, y, z, (4.9)
dt dt dt
то мы говорим, что частица движется в заданном поле силы. В этом случае
уравнения движения вместе с уравнением т = m(t) (обычно т = const)
определяют единственную мировую линию, соответствующую заданным начальным
значениям величин (4.9).
9 В РД собственная масса часто обозначается через ти, символ т.
используется для дорелятивистской массы (ср. § 108). Заметим, что в
настоящем параграфе т означает собственную массу.
