Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
М - унитарная матрица, если ММ* = 1 (или, что то же, М'1 = М*),
М - симметричная матрица, если М = М,
М - эрмитова матрица, если М* = М, г - одностолбцовая матрица (х, у, z).
Пусть (7, J, К) - ортогональный триэдр единичных векторов с началом в
точке О (ортонормальный триэдр). Пусть твердое тело имеет заданное
вращение вокруг О. И пусть в результате вращения (7, J, К), которые мы
считаем неподвижными относительно тела, переводятся в ортонормальный
триэдр (i, j, к). Тогда существует матрица скалярных произведений (или
соответствующих направляющих косинусов):
Используя ортогональные проекции и вводя одностолбцовые матрицы векторов
можно выразить связь между двумя этими триэдрами в следующих формулах:
что то же, М 1 = М), и собственная или несоб-
(9.1)
(9.2)
t = МТ, Т= Mt.
(9.3)
Пусть орт i имеет направляющие косинусы (/ь mi, ni) в системе (7, 7, К).
Аналогичные обозначения введем
40 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ [ГЛ. I
и для ортов у и к. Тогда матрицы М и М имеют следующий вид:
(h h h\ fh т± гаЛ
mi m2 m3 I, M = \ l2 m2 n2 J . (9.4)
ni n2 n3 J \l3 m3 n3)
Из ортонормальности триэдров имеем шесть условий, первые два из которых
таковы:
ti I2 1з - 1, limi -f- l2m2 ~t~ 3m3 = 0. (9-5)
Из них следует, что М - ортогональная матрица, так как
ММ=1 = ММ. (9.6)
Отсюда det М = +1. Если триэдр неподвижен, то М - 1,
det М = 1; поэтому, вследствие непрерывности, М - собственная матрица
всех вращений. Несобственная ортогональная матрица соответствует вращению
с отражением относительно начала координат. Мы ограничимся исследованием
случая вращения, хотя некоторые из формул приложимы и к несобственным
ортогональным преобразованиям.
До сих пор мы избегали употребления координат. Пусть теперь OXYZ - оси,
неподвижные в пространстве, и пусть (I, /, К) совпадают с этими осями,
так что /=(1, 0, 0), J - (0, 1, 0), К = (0, 0, 1). Рассмотрим какую-
нибудь точку тела. Пусть (х, г/, z) - ее координаты до вращения, (х',
г/', z) - после вращения. Тогда начальный и конечный радиусы-векторы
точки равны соответственно
r = xI + yJ+zK, | г' =xi + yj + zk, )
так что
х' = г'¦/ = hx + l2y + l3z и т. д. (9.8)
и преобразование координат можно выразить в.матричной форме следующим
образом:
r' = Mr, г - Mr'; (9.9)
вторая формула следует из первой на основании (9.6). Отметим наиболее
важный факт - линейность этого
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
41
преобразования. Отметим, кроме того, сравнивая формулы (9.3) и (9.9),
формальную взаимную перестановочность М и М.
Для данного вращения матрица М зависит от выбора векторов (/, J, К) или,
что то же, от выбора осей OXYZ. Направляя вектор К вдоль оси вращения,
можно упростить матрицу М и привести ее к виду
/cos х - sin х 0\
М = I sin х cos х 0), (9.10)
V о 0 1/
где х - угол вращения.
Рассматривая несколько последовательных вращений, мы, как правило, для
каждого нового вращения выбираем новую неподвижную систему координат
OXYZ. Мы можем последовать схеме
Т > Т\ > Т2 > . . .------> Тп_ 1 > t, /Q A
Mi Ж2 Ж3 ДГп-i ж" (У.11)
на которой показаны матрицы вида (9.1) или (9.4), соответствующие каждому
переходу от одного триэдра к другому. Результирующее вращение будет
представлено тогда формулой, аналогичной (9.3),
t = МТ, М = MnMn.i ... М1г (9.12)
Чтобы получить соответствующее преобразование координат, используя
неподвижные оси, совпадающие с Т, мы должны, как и в случае перехода от
(9.3) к (9.9), заменить М транспонированной матрицей; тогда получим
г' = Mr, М = MtMz ... Мп. (9.13)
Заметим, что матрицы написаны здесь в порядке возрастания номера, но на
самом деле операции выполняются в обратном порядке.
Разница между преобразованиями (9.12) и (9.13) (перемена местами М и М)
может быть источником незначительной путаницы. Существует еще третья
точка зрения на вращение. Мы можем считать точку неподвижной в
пространстве и рассматривать ее координаты (х, у, z) в старом триэдре Т,
а координаты (х', у', z') - в новом
42
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
LГЛ. I
триэдре t. Тогда преобразование имеет вид
г' = Mr, (9.14)
что аналогично представлению (9.12).
Чтобы пояснить сказанное, подведем итог: собственную ортогональную 3x3
матрицу М можно представить следующими четырьмя согласующимися между
собой способами:
(I) Таблица скалярных произведений (9.1) старой и новой системы векторов
(/, J, К) и (i, j, к).
(II) Вращение ортонормального триэдра, T->t с t = МТ.
(III) Преобразование координат, при котором оси остаются неподвижными в
пространстве, а точка перемещается вместе с телом,
г-> /¦' с г' = Мг.
(IV) Преобразование координат, при котором одна точка пространства
остается неподвижной, а оси перемещаются вместе с телом, г->г с г'=Мг.
§ 10. Вращение, представленное с помощью его оси и угла (параметры
Эйлера). Упорядоченный ортогональный триэдр (/, J, К) может иметь две
ориентации - правую или левую. В некоторой точке земной поверхности мы
получим правый триэдр, если выберем вектор / горизонтальным и
направленным на восток, J - горизонтальным и направленным на север и К -
