Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что два вращения вокруг двух точек некоммутативны (R2Ri ф RiR2),
если только это не вращения вокруг общей прямой2).
Вращение полностью определяется тремя параметрами, а именно, углом
вращения и двумя направляющими косинусами оси вращения. Следовательно,
твердое тело, имеющее неподвижную точку, обладает тремя сте-
г) Доказательство теоремы Эйлера, основанное на том факте, что
действительная ортогональная матрица имеет одно собственное значение
равное ^1, см. Голдстейн, [7], стр. 134-140.
2) Многочисленные интересные специальные выводы о конечных вращениях и
более полное изложение этого вопроса см. JT а м б [14], гл. 1.
§ 8] ОБЩИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
37
пенями свободы, т. е. тем же числом, что и пластинка, движущаяся в
плоскости. Однако несмотря на аналогию между этими двумя системами, между
ними имеется и большое алгебраическое различие. В плоском случае мы очень
просто можем использовать комплексные числа, как это было сделано в
случае уравнения (6.1), но чтобы рассмотреть вопрос о конечных вращениях
вокруг точки, требуются значительно более сложные методы, как мы это
увидим из следующих параграфов. Пространство конфигураций (§ 62) в обоих
случаях трехмерно и имеет одинаковую связность (оно имеет один
нестягиваемый в точку контур, § 63). Однако пространство конфигураций
пластинки - плоское по отношению к кинематическому линейному элементу (§
84), а пространство конфигураций для тела, имеющего неподвижную тодку,
искривленное.
§ 8. Общие перемещения твердого тела. Пусть D обозначает перемещение
твердого тела. Предположим, что D переводит некоторую точку тела из
положения А в положение А'. Тогда D может быть составлено из двух
перемещений: (I) поступательное по АА' и (II) вращение вокруг точки А'.
Это - стандартный путь описания общего перемещения. Точку тела А называют
полюсом или опорной точкой1).
Множество ортогональных триэдров, оси которых параллельны между собой,
остается таким же и после применения преобразования D. Отсюда ясно, что
вращение (т. е. направление его оси и угол вращения) не зависит от выбора
полюса. Однако от выбора ее зависит поступательное перемещение.
Теорема Шаля. Произвольное перемещение твердого тела в пространстве
эквивалентно винтовому движению.
Винтовое движение определяется как результирующая вращения и
поступательного перемещения тела в направлении, параллельном оси
вращения. Легко видеть, что для винтового движения перенос и вращение
коммута-
Base-point - мы пользуемся распространенным (хотя и не общепринятым) в
нашей литературе термином: полюс. Наименование - опорная точка - имеет
свои преимущества. (Прим. перев.)
38
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
И'Л
тивны. Для того чтобы доказать теорему Шаля, выберем какую-нибудь опорную
точку и разобьем поступательное перемещение на два: одно (назовем его 7\)
- параллельное оси вращения и другое (назовем его Т2) - перпендикулярное
этой оси. Затем, так как перенос Т2 и вращение представляют собой плоские
перемещения в общей плоскости, то их можно объединить в одно-единственное
вращение с новой осью, параллельной прежней оси (ср. § 6). Взятые вместе,
это вращение и Ti образуют винтовое движение, что и доказывает теорему
Шаля.
Общее перемещение твердого тела может быть получено двумя полуоборотами.
Полуоборот - это вращение вокруг прямой на два прямых угла. Оси двух
полуоборотов пересекают перпендикулярно ось эквивалентного винтового
движения; они удалены от этой оси на расстояние в полшага винтового
движения, а угол между ними равен половине угла вращения винтового
движения х).
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы: три -
поступательного перемещения и три - вращательного движения. Его
шестимерное пространство конфигураций имеет один нестягиваемый в точку
контур и оно искривлено по отношению к кинематическому линейному элементу
(§ 84).
Мы уже отметили аналогию между плоским перемещением (перенос + вращение)
и перемещением трехмерного твердого тела, имеющего неподвижную точку
(вращение). Подобная аналогия существует между общим перемещением
твердого тела (перенос + вращение) и перемещением четырехмерного твердого
тела, имеющего неподвижную точку (вращение). Мы не встречаем
четырехмерных твердых тел в ньютоновской физике, но в специальной теории
относительности преобразования Лоренца с неподвижным началом координат
(для этого нужно положить Вг = 0 в преобразовании (107.5)) можно
рассматривать как четырехмерное вращение, если, конечно, при этом принять
во внимание особенности метрики пространства - времени.
0 Дополнительные детали и другие свойства конечных перемещений см. JI а м
б [14], гл. 1.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
39
§ 9. Ортогональные матрицы. Для матриц будут употребляться следующие
обозначения:
М- транспозиция матрицы М (транспонированная матрица),
М* - комплексная сопряженная матрицы М,
1 - единичная матрица,
М - ортогональная матрица, если М-М = 1 (или,
ственная, в зависимости от того, чему равен det М: +1 или -1,
