Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Углы (й, ф, ф) называют углами Эйлера. Их значения определяют положение
триэдра векторов (i, j, к) относительно системы (I, J, К). Они могут
иметь произвольные значения, но все положения (i, j, к) определяются
следующими пределами изменения этих углов:
0< й с л, 0<ф < 2л, 0<ф < 2л.
(11.4)
С помощью приведенных преобразований мояшо выразить ("! У" к) как
линейные функции (I, J, К) и отсюда получить матрицу скалярных
произведений М вида (9.1) или матрицу направляющих косинусов вида (9.4).
Эта матрица М компактпо показана в следующей таблице, в которой для
§ 11]
УГЛЫ ЭЙЛЕРА
47
краткости обозначено: с = cos, s - sin, а индексы 1, 2, 3 относятся
соответственно к Ф, ф, ф:
I cic2c3~ S2S3 -С1С2Л3-S2C3 stc2
J cls2c3~t C2S3 - cis2s3 \~C2C3 S jS2
К ~^lc3 ^1*3 Cl
(11.5)
Мы имеем здесь иллюстрацию сложения вращений согласно формуле (9.13),
ибо, транспонируя элементы в (11.1)-(11.3), можно получить матрицы Ми М%,
М3 и непосредственно убедиться, что матрица М (11.5) представима в виде
М=М1МгМъ =
{сг - s2 О' -| (r)2 ^2 9
о
(11.6)
Сравнивая матрицу (11.5) с матрицей (10.9), легко получить параметры
Эйлера, выраженные через углы Эйлера,
1 1
к = е sin - Ф sin - (ф - ф),
(11.7)
1 1
р = е sin '0 cos (ф - ф),
1 1
v = е cos - Ф sin - (ф + ф),
1 1
Q = Е COS - Ф COS - (ф + ф),
где е = +1. Для определенности мы можем взять е = 1, определив тогда (А,,
р, v, q) через (д, ф, ф) единственным образом.
48
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ [ГЛ. Г
§ 12. Кватернионы. Кватернион q имеет форму
где а, Ь, с, d - обыкновенные числа (мы будем считать их действительными)
иг, j, к - кватернионные единицы или единичные векторы1), подчиненные
следующим алгебраическим правилам:
/Те = - к/ - i, ki- - ik = /, if = - ji - к.
Векторная часть Vq, скалярная часть Sq, сопряженный кватернион Kq, норма
Nq и обратный кватернион q~l - определяются следующими формулами2):
Vq = ai + bj + ск, Sq = d, q - Vq + S q,
Векторную часть Vq можно рассматривать как обыкновенный вектор, при этом
г, /, к являются единичными векторами координатных осей. Если Sq = 0,
кватернион q вырождается в вектор с нормой Nq = 1, если это единичный
вектор.
Каждый кватернион q определяет положительное число /г, единичный вектор р
и угол % (0<%<2л;). Соотношение между ними выражается формулой
*) Следуя традиции, мы используем здесь обычный шрифт для кватернионов.
2) См. Brand L., Vector and Tensor Analysis (New York, Wiley, 1947) гл.
10 с кратким изложением теории кватернионов. Бранд определяет норму как
qKq. Джоли (J о 1 у С. J., A Manual of Quaternions, London, Macmillan,
1905, стр. 12) пишет qKq = = (Г*?)2 и называет Tq тензором q; однако,
кажется целесообразным обойти исторический термин "тензор" из-за того,
что в наши дни принято вкладывать в этот термин другой смысл в тензорном
исчислении.
q - ai + bj + ск + d,
(12.1)
г'2 = /2 = к2 = 1,
Kq = - Vq + Sq,
(12.3)
(12.4)
§ 12]
КВАТЕРНИОНЫ
49
Тогда Nq = h и получаем
Пусть г - какой-нибудь вектор и q - какой-нибудь кватернион. Тогда
формула
определяет преобразование г-> г', такое, что Sr' = Sr = О (т. е. г' -
вектор), и это преобразование на самом деле является вращением вокруг оси
р на угол %, где р и | определены соотношением (12.4). Это можно показать
следующим образом1).
Очевидно, что h (= Nq) сокращается в формуле (12.6) и мы можем взять, не
умаляя общности, Nq = 1, полагая, таким образом,
q = Xi + \ij + vк + Q, Я2 + р2 + v2 + q2 = 1. (12.7) Тогда
где М имеет точно форму (10.9). Следовательно, преобразование (12.6)
определяет вращение, а числа (Я, р, v, q), введенные в формулах (12.7)
действительно являются эйлеровыми параметрами вращения (§ 10). Полагая п
= 1 в выражении (12.4), получим следующие соотношения:
0 Другие доказательства см. Brand, цит. соч., стр. 417, и J о 1 у, цит.
соч., стр. 18.
Дж. Л. Синг
-1
(12.6)
г = qrq
q~x = - Ki - р/ - vft + Q (12.8)
и, воспользовавшись выражением (12.6), при
г = xi + yj + zk, г' = x'i + y'j + z'k
находим в матричных обозначениях
г' = Mr,
(12.9)
Vq = p sin j x, (.NVqf = л2 + p2 + v2 = sin %, Sq = q = cos j x.
(12.10)
50
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. I
так что (ср. с (Ю.2)) Vq есть не что иное, как вектор V из § 10
(направленный вдоль оси вращения), а угол % кватерниона, определенный
формулой (12.4), есть угол вращения.
§ 13. Стереографическая проекция1) и параметры Кэли-Клейна. Спроектируем
сферу хг + у2 + z2 = 1 из точки (0, 0, 1) на плоскость z = 0
(стереографическая
проекция); пусть точка (X, Y) на плоскости - проекция точки сферы с
координатами (а;, у, z) (рис. 6). Тогда, как легко видеть,
х _ У 1 - z . у _ х у л
X Y 1 т 1 - z
1 - z
X =
2Х
X2 + Y2 + 1
У
2 Y
X2 + Y2 + 1
_ Х2 + Г2- 1 _ _
Z " X2 + Y2 + 1 '
Простой подсчет дает
X2 + Y2+ 1
dx dy dz =
2 _ 4 (dX2 + dY'2)
4dZ dZ
(X + У + 1) (ZZ + lf
(13.1)
, (13.2)
!) Ср. T i e t z H., Handbuch der Physik, 1960, т. II, стр. 187.
§ 13]
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
51
где Z = X + iY и черточка означает комплексное сопря-женное.
