Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В'.
Это перемещение можно разбить на два последовательных: I) поступательное
перемещение точки из Л в точку А' и II) вращение вокруг Л'.
Можно также начать с вращения, а затем произвести поступательное
перемещение.
Чтобы описать перемещения в плоскости, удобно использовать комплексные
числа (z = х + iy). Перенос, представленный комплексным числом t,
равносилен преобразованию z' = z + t. Вращение на угол й вокруг точки с
означает преобразование
z' - c - (z - с) е1(r).
Если принять Т и В за символы операций переноса и вращения, а
комбинированные операции обозначить через ВТ и ТВ (читать справа налево),
то мы имеем для двух последовательностей операций следующие
Дж. Л. Синг
34
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. I
преобразования:
RT : z = с (z A t - с) ег^
TR : z' = f + с + (z - с)
Вообще говоря, это - различные преобразования
(RT Ф TR) и это, возможно, простейший пример некоммутативных операций в
механике. Равенство RT = TR имеет место только в тех исключительных
случаях, когда t = О или ¦0 = 0.
Рассмотрим первое из преобразований (6.1). Чтобы найти неподвижную точку
для перемещения RT, мы должны положить z'= z; это дает уравнение для z:
z (1 - е1(r)) = с + t (t - с) elf>. (6.2)
Если 0 = 0 (или кратно 2л,) то уравнение имеет единственное решение.
Отсюда при каждом жестком плоском перемещении (исключая чистое
поступательное перемещение) имеется одна-единственная неподвижная точка.
Утверждение, эквивалентное этому, может быть высказано так: любое
жесткое плоское перемещение
(исключая поступательное) можно представить как вращение вокруг
соответствующим образом выбранного центра.
Этот центр может быть найден (а приведенная теорема доказана) простым
построением. Пусть перемещение переводит точку А в R и точку R в С.
Тогда, если только перемещение не есть чистое поступательное перемещение,
перпендикуляры, проведенные через середины отрезков AR и НС, пересекаются
в некоторой точке D; D есть искомый центр.
Результат двух плоских перемещений (D2D i) есть поэтому результат двух
вращений (R2Rt), следовательно, это тоже вращение (R3) и можно написать
R3 - R2Ri. (6.3)
Два вращения вокруг различных центров некоммутативны (R2R1 Ф RiR2). Легко
привести пример, который иллюстрирует это положение. Пусть Ai, А2- два
центра ¦Oi, '02- углы вращения. Тогда углы вращения RiR2 и R2Ri равны, а
именно, 2ф = + й2, а их центрами
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
35
являются точки С12 и С21 (рис. 3); эти центры являются взаимными
отражениями друг друга относительно прямой A iA 2-
Тонкая пластинка, движущаяся в плоскости (или твердое тело, движущееся
параллельно плоскости), имеет три степени свободы, так как положение
пластинки определено, когда мы знаем две координаты какой-нибудь
Рис. 3. Результирующая двух вращений в плоскости.
С12 - центр вращения i?ii?2, а С21 - центр вращения RiRu
ее точки и угол, образуемый какой-нибудь прямой на ней с фиксированным
направлением. Для такого движения пространство конфигураций трехмерно (§
62). Оно того же типа связности, что и бесконечный цилиндр; это означает,
что имеется один, нестягиваемый в точку, контур, соответствующий полному
повороту пластинки (§ 63); это пространство - плоское по отношению к
кинематическому линейному элементу (§ 84).
§ 7. Теорема Эйлера. Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой О.
Проведем сферическую поверхность S единичного радиуса с центром в точке
О. Положение тела вполне определяется положениями тех точек его, которые
лежат на поверхности S, и любое перемещение тела, которое оставляет
неподвижной точку О, есть жесткое преобразование S в себя.
3*
36
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. I
Теорема Эйлера: Произвольное жесткое перемещение сферической поверхности
в себя оставляет неподвижными две точки этой поверхности, лежащие на
одном диаметре.
Эту теорему можно доказать (и найти неподвижные точки) построением,
приведенным после уравнения (6.2); нужно только перпендикуляры к
серединам отрезков в плоскости заменить окружностями больших кругов на
сфере. Исключительный случай (чистый перенос на плоскости) не может
возникнуть, так как две окружности больших кругов обязательно
пересекаются1).
Теорему Эйлера можно выразить, сказав, что любое вращение вокруг
неподвижной точки равносильно вращению вокруг некоторой прямой,
проходящей через эту точку. Это свойство (неподвижная точка подразумевает
неподвижную прямую) обусловлено нечетностью размерности пространства.
Как и в случае плоскости (см. рис. 3), можно рассматривать сложение двух
вращений вокруг точки; при этом прямые на плоскости нужно заменить
окружностями больших кругов на сфере. Теперь точки A i и А г- точки, в
которых сфера пересекается с двумя осями вращений; точка А1 лежит на
одной оси, точка А2- на другой. Существенное различие состоит только в
том, что хотя угол результирующего вращения по-прежнему равен 2ф (ф -
соответствующий угол рис. 3), мы имеем теперь
2Ф = + ф2 - 2Е, (7.1)
где Е - сферический избыток треугольника AiA2Ci2-
