Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
160
[3] Smale S. Differentiable Dynamical Systems (Рус. пер.: См ей л С.
Дифференцируемые динамические системы//УМН.-1970.-Т. 25, № 1.- С. 113-
185), а также
S га а 1 е S. Duffeomorphisms with many periodic points // Differential
and Combinatorial Topology.- Princeton, N.Y.: Princeton University Press,
1965.-P. 63-80 и статью
[4] Шильников JI. П. О существовании счетного множества периодических
движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло -
фокуса// ДАН СССР.- 1967.- Т. 172, № 1.-
С. 54-57.
3" В последнее время появились работы Г. М. Заславского, Р. 3. Сагдеева и
их сотрудников, где стохастические слои образуют сложную паутину, по
которой траектории могут уходить неограниченно далеко, наподобие
траекторий случайного блуждания. См. по этому поводу
[5] Заславский Г. М., Сагдсев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А А.
Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией гига
"квазикристалл".- Препринт № 1289, ИК, 1987.
6 Я. Г. Синай
ЧАСТЬ V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В этой части книги мы обсудим некоторые аспекты теории гиперболических
динамических систем, объясняющие, в каком смысле эти системы имеют
стохастическое поведение. Естественно, что при этом основное внимание
уделяется эргодиче-ским, а не топологическим вопросам.
ЛЕКЦИЯ 16
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОТОКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ,
РАЗРЫВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ,
УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Вначале мы рассмотрим основные примеры систем, к которым применима
развиваемая далее теория. Напомним определение геодезических потоков (см.
Г в конце лекции).
Пусть Q - компактное замкнутое С *-риманово многообразие и М-его
единичный касательный пучок. Точки М могут быть записаны как x = (q, v),
где qeQ, ve.Tq и -касательное пространство в точке || с || = 1.
Геодезический поток {S'} на М есть однопараметрическая группа
диффеоморфизмов М, где S'x есть результат параллельного перенесения и
вдоль геодезической, определяемой х, на расстояние t. Геодезический поток
сохраняет меру Лиувилля dn{x) = dox(q)dioq(v), где da есть мера на Q,
индуцированная римановой метрикой, d(oq(v) есть мера Лебега на сфере
единичных касательных векторов veTq. Эргодические свойства {S'}
существенно зависят от топологии и римановой структуры на Q. Далее мы
увидим, что для нас особый интерес представляют многообразия Q, кривизна
которых по любому двумерному направлению отрицательна.
Естественное обобщение геодезических потоков строится следующим образом.
Пусть М{г) есть пространство г-реперов, т. е. пространство, точки
которого имеют вид x{r) = (q, vt, ... ..., vr), где qeQ, vt, ..., vre.Tq,
(vt, Vj) = 5tj и, естественно, r ^dimQ. Обобщенный геодезический поток
{S'} сдвигает x(r) вдоль геодезической, определяемой (q, ), на расстояние
162
t. Каждый вектор Vj, j > 1, параллельно сдвигается вдоль этой
геодезической. Поток {S'} сохраняет меру d\i(xir)) = do(q)-dai^ivt, ...,
vr), где ^<й<г) есть естественная мера Лебега на пространстве r-реперов,
инвариантная относительно групповых преобразований.
Среди других случаев, к которым относится развиваемая далее теория, есть
ряд примеров разрывных или кусочногладких динамических систем. Следует
отметить, что часто изучение свойств их стохастического поведения
оказывается гораздо проще, чем изучение тех же свойств их гладких
аппроксимаций. Поэтому мы собираемся дать достаточно общее определение
динамических систем с особенностями, а потом описать интересующие нас
примеры.
Фазовые пространства М таких систем представляют собой объединения
многообразий с кусочно-гладкой границей. Возьмем М0, представляющее собой
гладкое и-мерное рима-ново С "-многообразие, и допустим, что на М0 заданы
С "-функции fi(x), 1 такие, что / f1 (0) не содержат
критических точек. Мы рассматриваем М= {хеМ0 j / (х) ^ 0,
к к
1 < i < к}, где граница дМ= [J { дМ Of f1 (0)} = (J дМг. Пред-
i=i ;=i
полагается, что в точках хедМ^О^М^ векторы grad/, и grad/2 не
коллинеарны. Будем называть М многообразием с кусочно-гладкой границей, a
8Mt-компонентами его границы. Допускаются также фазовые пространства,
являющиеся объединениями многообразий Ms с кусочно-гладкими
га
границами, 5=1, ..., т, M~\jMs.
S= 1
Мы будем рассматривать кусочно-гладкие отображения и кусочно-гладкие
векторные поля, определенные на М. В первом случае предполагаем, что
каждое Ms есть компонента, внутри которой Т является бесконечно-
дифференцируемым и все производные имеют пределы при приближении изнутри
к точкам границы dMs. Во втором случае мы рассматриваем С "-векторные
поля такие, что каждая траектория достигает границы за конечное время.
Обозначим дМ{ш\ дМ<ои1) множество точек границы, где векторное поле
направлено внутрь М (вне М). На dM(vui) П5М<!п) векторное поле касается
дМ. Допустим, что дМ>т) и дМ(оШ) представляют собой многообразия с
кусочно-гладкой границей и определено кусочно-гладкое отображение S:
dM{oui)-+dM{m\ которое тождественно на dM(0Ut) П5М<|п). В тот момент,
