Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
компоненты их границ являются частями T~kl~l ytf Т ~ki~x у^\ а две
другие-частями Тк'у<$), Тк'у<$). Параллелограмм Ро содержит внутри себя
A', a Q'0 содержит внутри себя С. Аналогичным образом можно построить
параллелограммы
157
Qо, Ро, содержащие внутри себя С" и А". Эти четыре параллелограмма будут
образующими канторова множества, которое мы сейчас построим (рис. 15.7).
Рассмотрим Т к°Р2. Это будут параллелограммы,
которые содержат внутри себя y<i)y<?) (рис. 15.8). Пересечения
Т~к°Р1 ПП(1ы), T~k°P2f]ti(i) представляют собой криволинейные
параллелограммы, две части границ которых _ принадлежат у5,):у§,) (рис.
15.9). Пересечения Т~к'(Т~к°Р1 Пfij)РА, Tkl(T~koP2f)Tl1)f)P3 представляют
собой два параллелограмма, у которых одна пара компонент границы принад-
лежит неустойчивой части границы РА. Аналогичным образом мы строим два
параллелограмма внутри Ръ.
Применим теперь те же аргументы к пересечениям Т^к°Р1 ПП*"*, Т-к°Р2[} Щ"1
и к пересечениям Т~к°Р4 Щы), Т~к°РА fl Щы), Т-к°РъС\П{?\ Т-к"Р4Г\П(1и). В
результате вместо 4 параллелограммов Р{, 1 < / < 4, мы получаем 16
параллелограммов, которые обозначим P;j (рис. 15.10). Мы имеем Pij =
Pif)T~k°~k'PJ. Аналогичным образом на следующем шагу конструкции мы
получаем 43 параллелограмма
= И т.д.
158
Бесконечное пересечение р] Т т<~к"+к^р^ есть гладкая кривая
т = О
внутри Pio, имеющая концы на неустойчивой части границы параллелограмма
Pio и почти параллельная y(sK Слово "почти"
зависит от размера W. Можно также сказать, что объединение
00 4
У р] Т"т(ко+к^pL состоит из таких точек (z, ср)е У Р{, для
{i", I',,...} m=0 i=l
4
которых ф)б ил для всех т^О.
f=i
Заметим теперь Т на Г-1. Тогда для множества °° ( 4 \
р) 7'm(*o+*i)| у р. 1 мы имеем аналогичное символическое
m=0 \1=1 )
оо
представление. Оно состоит из кривых р] Tm(k°+k')Pim, почти
т = О
параллельных у(и) и лежащих внутри Д. 1 ^ го ^ 4. Множество Pl Тт(к°+к,)
I у РЛ = 1 инвариантно относительно Т(к°+к'*.
т=- оо \/= 1 )
Возьмем пространство ?2 дважды-бесконечных последовательностей ю= {сов},
- со <п < со, со" е {1, 2, 3, 4}. Обозначим
S сдвиг на шаг влево в ?2. Определим непрерывное отображе-
00
ние ср: ?2->/, где ср(со)= р] Тт^ко+к,)РШт. Ясно, что
- 00
ф5= Т<к°+к,) у. Поэтому если v-инвариантная относительно S мера, то ср*
v-инвариантная мера относительно Тк°+к\ Если v-мера Бернулли, то нетрудно
показать, что ср взаимнооднозначно на множестве полной меры. Это, в
частности, означает, что Tk°+kl\I с мерой cp*v есть сдвиг Бернулли. Если
со-периодическая последовательность, то ср(со)-периодическая точка
отображения Т.
Все предыдущие рассмотрения проводились в предположении, что к0 = к'0,
к1=к\. Без этого предположения конструк-
159
ция дает множество /c(Jp. таких (z, ф), что первое
i= 1 4
возвращение в множество (J-Р* принимает одно из четырех
i= 1
значений к0+к1, к'0 + кк0 +к\, к'0 + кЗакончим наши рассмотрения точной
формулировкой полученного результата.
Теорема. При предположениях, сформулированных в начале этой лекции,
существует инвариантное относительно Т множество I со следующими
свойствами:
1. I имеет бесконечное число периодических траекторий.
2. Отображение Т имеет инвариантную меру, по отношению к которой оно
изоморфно сдвигу Бернулли.
Из теоремы вытекает, что Г имеет "случайные" траектории. Теорема
показывает также важность появления транс-версальных пересечений у<; \
у(и). Как уже отмечалось в предыдущей лекции, в ряде случаев
существование таких пересечений может быть проверено с помощью уже
упоминавшегося метода Мельникова. В ситуациях, где он работает,
динамическая система зависит от параметра. Угол между устойчивым и
неустойчивым многообразиями как функция этого параметра оценивается с
помощью теории возмущений. При этом асимптотически этот угол ведет себя в
главном порядке как некоторая степень параметра. Однако в предыдущей
лекции мы показали, что в некоторых естественных случаях этот угол может
быть экспоненциально мал и тем самым не может быть найден с помощью
теории возмущений.
Инвариантное множество, состоящее из траекторий, целиком принадлежащих
{/?, иногда называется стохастическим слоем.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
Г Впервые идея о том, что появление гомоклинических и гетерок-линических
точек с трансверсальным пересечением устойчивого и неустойчивого
многообразий приводит к сложной структуре динамики была высказана
Пуанкаре в книге
[1] Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Избр. труды. В 3 т.-
М.: Наука, 1971, 1972;
См. также
[2 ] Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в
классической и небесной механике//УМН.- 1963,-Т. 18, № 6,-С. 91 - 192.
Первый анализ динамики в стохастическом слое содержится в статье Биркгофа
Birchgoff G. Nouvelles recherches sur les systemes dynamique// Mem. Pont
Acad. Sci. Non Lyncaei. Ser. 3.-1935.-V. 1.-P. 85-216.
2° Полное исследование структуры траекторий в стохастических слоях
принадлежит С. Смейлу-см. его обзорную статью
