Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 59

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 68 >> Следующая

что л. н. м. представляют собой кривые, идущие под небольшим утлом к
горизонтальной оси (см. рис. 16.6). Заметим, что длины л. н. м. ведут
себя крайне нерегулярным образом, в частности всюду разрывны.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
Iе Геодезические потоки как объект эргодической теории изучались еще в
работах Адамара и Биркгофа. Но поводу геодезических потоков на
многообразиях отрицательной кривизны см., например,
[1 ] А н о с о в Д. В., С и н а й Я. Г, Некоторые гладкие динамические
системы//УМН.- 1967.- Т. 22, № 5.- С. 107-172
[2] Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римано-вых
многообразиях отрицательной кривизны//Труды Матем. института им. В. А.
Стеклова.- 1967.-Т. 90.- 210 с.
и имеющиеся там ссылки на более ранние работы.
Эргодические свойства потоков реперов обсуждаются в работе
[3] Brin М. I., Gromov М. On the ergodicity of Frame Flows// Math.
Invent.-1980,-V. 60, № 1- P. 1-8.
2е По поводу определения бильярдов см.
[4] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодичес-кая теория,- М.;
Наука, 1980.
3е Отображение Лози с точки зрения его гиперболических свойств
исследовалось в работе
[5] Misiurewicz М. Strange Attractors for the Lozi Mappings// Annals of
the New York Academy of Sciences.-1980.- V. 357.- P. 348-358.
По поводу отображения Эно см. недавнюю работу
[6] Benedicks М., CurlesonL. The Dynamics of the Henon Map//Ann. of Math,
(in press).
4° Свойства отображения Белых обсуждаются в статье
[7] Белых В. Н. Модели дискретных систем фазовой синхронизации /7 Системы
фазовой синхронизации/Под ред. В. В. Шахгильдяна, JI. Н. Белюстиной.- М.:
Радио и связь, 1981.- С 161 -176.
5° Система Лоренца появилась в его работе
[8 ] L о г е n z Е. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atm. Sciences.-
1963,-V. 20.-P. 130-141.
Эта работа приобрела очень большую популярность в середине семидесятых
годов. Благодаря этой работе идея странных аттракторов, введенная Рюэллем
и Такенсом в их статье
[9] RuelleD., Tackenc. On the nature of turbulence//Comm. Math. Phys.-
1971.-V. 20, № 3.- P. 167-192, стала чрезвычайно широко распространенной
среди физиков, биологов, химиков и т. д.
Наше описание модели Лоренца основано на работах
[10] Афраймович В. С., Быков В. В., Ш и ль н и к о в Л. П. // О
возникновении и структуре аттрактора Лоренца//ДАН СССР.- 1977.-Т. 234, №
2,-С. 336-339;
[11] О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора
Лоренца //Труды Моск. матем. общества.-1983.- Т. 44,-С. 150-212.
176
6° Теорию систем Аносова см. в его книге, упомянутой в 1°, а также
[12] В о vv е n R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov
Diffeomorphisms // Lecture Notes in Math. V.- Berlin: Springer-Verlag.-
1975,-V. 470.
[13] Ruelle D. Ergodic Theory of Differentiable Dynamical Systems// Publ.
Math. IHES- 1979.- V. 50.- P. 27- 58.
[14] Ruelle D. Thermodynamic Formalism. Encyclopedia of Math, and its
Appl.-Vol. 5.-Addison-Wesley: Reading Mass, 1978.
7° По поводу рассеивающих бильярдов и их обобщений см.
[15] Sinai Y a. G. Hyperbolic Billiards//Труды Международного
Математического конгресса в Киото, 1990 (в печати) и приведенную там
библиографию.
ЛЕКЦИЯ 17
СУЩЕСТВОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ. ГИББСОВСКИЕ МЕРЫ
Содержание предыдущей лекции уже показало важность понятий л. у. м., у.
м. и л. н. м., н. м. Сейчас мы обсудим проблему существования таких
многообразий. Вначале рассмотрим кусочно-гладкие диффеоморфизмы Т. Пусть
хеМ такова, что Т" гладко в окрестности точки х при любом п, что
означает, что траектория Т"х = х" не проходит через край дМ. Тогда можно
определить дифференциал ёТ^ диффеоморфизма Т отображений касательного
пространства ЗГХп в точке х" в касательное пространство ^гх" в точке Тх".
Мы введем сейчас важное понятие гиперболической траектории.
Предположим, что каждое касательное пространство , 0 <?<оо, допускает
разложение JTrlx = Е ^ 4 Е такое,
что
1) дТтЛЕ%) = Е%^ дТГх{Е^ = Е%^
(инвариантность);
2) при некоторой постоянной X, 0 < ? < 1,
||г7>хе||"а|И1, еЕЕ%; \\гТт^е\\>Х~1\\е\\, ееЕ%-
(гиперболичность);
3) при некоторой постоянной а>0
dist (?(flx, ?(r0 2*2, 0 < k < оо.
В 2) предполагается, что норма индуцируется какой-либо кусочно С "-
гладкой метрикой в М. Расстояние между подпространствами в 3) также
индуцировано этой метрикой.
7 Я. Г. Синай 127
Аналогичным образом можно ввести 1) - 3) при
- оо <к^ 0.
Определение Г. Точка х называется а-гиперболической, если она
удовлетворяет 1) - 3) при 0^к< оо.
Определение 1". Точка х называется еугиперболиче-ской, если она
удовлетворяет 1) - 3) при 0^к<оо.
Определение 1. Точка х называется гиперболической, если она является а- и
а>-гиперболической.
В случае отображений, имеющих аттракторы, естественно рассматривать
только а-гиперболические точки.
Имеет место следующая теорема, являющаяся частным случаем так называемой
общей теоремы Адамара-Перрона.
Теорема 1. Пусть вдоль полутраектории {Г"х, л>0} а-гиперболической точки
х выполнено следующее условие: при некоторых С>0, р>0 отображение Т~1
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed