Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 57

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 68 >> Следующая

Обозначим меру на у<я)(у), индуцированную римано-
вым объемом.
Введем вначале так называемый коэффициент объемного растяжения (или
просто коэффициент растяжения) неустойчивого многообразия. Возьмем
у<я)(х). Тогда для любого В с у(и)(х) мы можем написать
а(Т~1В)= | dayM(т =х)(у) = |(Xм(у))"1 Лт,(tm)w(у).
Поскольку отображение у<я)(х)->у<я)(7' *х) является сжатием,
то Х(и) (у) > 1. Если мы прочитаем это равенство в обратном порядке, то
получим
j (Гх) (у) = fX(u> (Гу) dar, (х) (у)
ТВ в
в предположении, что TB<=.y{u)(Tx). Функция Xм(у) и называется
коэффициентом растяжения. Положим для Всу(я)(х)
VW ау'-'<т-,)(Т~1'В П ум(Т~"\))
Оуы(г ^1(Т~"у<">(х) П У<ы>(Т~"х))' 1 '
Теорема 1. Пусть вдоль траектории точки х выполнены соотношения
7'_1у<я)(Т',х)с:у(я)(7'<"~1)х) при всех п<0, и пусть
170
коэффициент растяжения А.*"' удовлетворяет равномерному условию Гёльдера
в том смысле, что при некоторых постоянных pi>0, С!>0, не зависящих от п,
и всех 0 для у', у"еум(Т"х)
Aw(y")
Тогда существует предел lim у*".',,., (В) = vyW(., (В).
Я-ЮО " w ' 1 1
Замечание. Эта теорема имеет тот же характер, что и лемма 1 лекции 12.
Доказательство. Прежде чем привести формальное доказательство, поясним
его идею. Множество Т~пВ очень мало при больших п в силу свойства сжатия
л. н. м. На малых расстояниях любое нелинейное преобразование ведет себя
как линейное. Но при линейном преобразовании Т~пВ и Т~пум (х)
растягиваются одинаковым образом. Поэтому (1) почти не меняется при
замене в (1) п на п+1.
Приведем теперь более формальное доказательство. Напишем
, S (у)) ~1 <*V'(7' -x)(y)
уЭД) (В)=-^-------------------------------------------------.
I da.r,a-.,x)(у) | Д<'') (у)) -1 da.r,IT ."(у)
7--'т"(х) 7-т"(1)
Заметим теперь, что dist^c^T-.х)(у', у") ^Дл-const для
любых у', у"е Т~пу(и)(х). Выберем произвольную точку уеТ-пум (х). Тогда
Aw( у)
j ^Г-(7~ч(У)
(Я+1)7Р\_ 7 'В V УУУ__________________
А"(у)\-'
СТ',('47'1
<(1 + const • Cj А.") (1 -const • СД") -1 v^)W (5)
И
vXY^Ml - const • СД") (1 + const • СД") -V;>,(1)(5).
Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.
Итак, на у<и) (х) построена мера vrw(I). Покажем теперь, что если
ум(х')ПУ(,,)(х')*0, то найдется такая постоянная х = х(х', х"), что для
любого В<^ум(х')ПУ<и)(х")
(2)
171
Мы имеем
Из построения у> непосредственно вытекает, что
Уч.э(Д) = Уч"-)(д)
vT<-4x )(7<u)(x') n 7<u)(x")) Vy"(x.)(v<">(x') П 7("4x"))'
Это дает (2) при
Ут-ич^СхОПт^Чх"))
W)(Tw(x')ri7w(x"))'
Соотношение (2) позволяет построить меру на всем Г<и)(х). По определению
Г(и)(х)= U Т"уЫ) (Т~ *х). Пусть fic Т"у(и> (Т~пх). Положим
vrM(x)C5) - ~
Чх))
Знаменатель последнего выражения может рассматриваться как нормировка. Из
(2) следует, что это определение корректно в том смысле, что если
рассматривать В как принадлежащее Тя+ 1у(и>(Т~"~1х), то vr-4l)(fi) при
этом не изменится. Тем самым на Г(и)(х), где можно обеспечить условия
теоремы 1, определена мера угм(1). Конструкция этой меры может быть
проведена и при существенно более слабых предположениях.
Дальнейшее развитие теории мы отложим до следующей лекции, а сейчас
рассмотрим несколько примеров.
1. Групповые автоморфизмы Т m-мерного тора Torm задаются вещественными
целочисленными матрицами А || ai; jj, det А = + 1. Каждый такой
автоморфизм действует по формуле 7x = .4x(mod 1). Он называется
гиперболическим, если абсолютные величины его собственных значений не
равны 1. Как известно из линейной алгебры, в таком случае все m-мерное
пространство Rm допускает разложение Вт = Л(ц) + Ль) где AR^ = Riu>,
AR(S)=-R(S>. При этом в Rm можно ввести метрику таким образом, что || Ае
j| || е ||, eeR<u), || Ае || _11| е ||, eeR{s), при некоторой постоянной
л>1. Обозначим fc = dim R(u\ / = dim R{i\ k + l = m. Непосредственное
обобщение рассуждений, проведенных в лекции 2 при
172
т = 2, показывает, что Т эргодично по отношению к мере Лебега. В этом
случае каждая точка хеТог"1 имеет ^-мерное н. м. Г('° (х), представляющее
собой проекцию плоскости, параллельной R(u) и проходящую через х, при
естественном отображении R"' -> Тог"1. Аналогичным образом строится у. м.
Г<5) (х) как образ плоскости, параллельной Ris). Меры vrw(i) представляют
собой меры Лебега на слоях Г<и)(х).
Ситуация незначительно меняется, если к Т добавить малые линейные члены,
т. е. рассмотреть отображения 7\ вида
m
(Тцх)^ ? а,7х;+/((х, ..., хга) (modi), l^i'sSw, j= i
где f-периодические функции периода 1 по каждой переменной, малые в С2-
топологии. По-прежнему каждая точка х имеет ^-мерное н. м. Г("' (х) и /-
мерное у. м. ГЧ5,(х). При этом Г"(х) есть ^-мерное многообразие,
однозначно проектирующееся на R{u) и отстоящее от Г<и) (х) на конечное
расстояние. Теперь уже vf( будет неравномерной мерой, плотность которой
по мере Лебега ограничена сверху и снизу положительными постоянными.
Диффеоморфизмы 7\ представляют собой частный случай так называемых
диффеоморфизмов Аносова (см. 6е).
2. Рассмотрим геодезические потоки (г. п.) на компактных поверхностях
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed