Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
когда движущаяся точка достигает точки края хедМ<ои1), она мгновенно
перепрыгивает в точку Sx и продолжает свое
б* 163
движение из Sx. Считается также, что при попадании на дМ{ои1) точка может
продолжать движение. Мы будем
рассматривать только те траектории, которые не проходят через пересечения
нескольких компонент границы.
Типичными примерами кусочно-гладких потоков служат бильяр ды, о которых
отчасти уже шла речь в лекции 6 (см. 2 ). Рассмотрим замкнутую область Q,
причем либо Q a Rd, либо Q a Tord и Q имеет кусочно-гладкую границу.
Бильярд в Q - это динамическая система, соответствующая движению
материальной точки внутри Q с постоянной скоростью и с отражением от
границы по закону "угол падения равен углу отражения". В многомерном
случае это означает, что касательная составляющая скорости сохраняется, а
нормальная меняет знак. Фазовое пространство бильярда М представляет
собой, как и в случае геодезических потоков, единичный касательный пучок
к Q, <ЭЛ/(ои1) (дМ(ш 1) состоит из единичных касательных векторов,
носители которых принадлежат 6Q, а векторы скорости направлены вне Q
(внутрь Q),
1. Отображение Лози (см. 3°). Это отображение является кусочно-
линейным отображением плоскости в себя, задаваемым формулами
Мы будем рассматривать только такие значения параметров (а, Ь), что а>0,
0<6<1, a+b > 1. Возьмем точку
Лемма. Пусть F-треугольник с вершинами г, /(г), /2(г) (рис. 16.1). Тогда
f(F)<zF.
164
8M(ouU[)дМ(т) состоит из еди-
НО
У
z
ничных касательных векторов, касающихся dQ. Отображение S преобразует
каждый касательный вектор из д М1 oul 1 в соответствующий касательный
вектор из dMVm) с тем же носителем. Бильярдный поток {5'} сохраняет ту же
самую меру Л иувилля d р (х) = = dqd(s>q(v), что и геодезический поток.
Рис. 16.1
Приведем теперь несколько примеров кусочно-гладких отображений.
/: (х, y)i->( 1 -bjP - "|хI, bx).
Доказательство леммы проводится с помощью непосредственных вычислений и
поэтому опускается. Образ / (F) есть пятиугольник, изображенный на рис.
16.1.
Нас в дальнейшем будет интересовать поведение / на
множестве f) fn(F) = A. Отображение Лози было введено как
упрощение известного отображения Эно: (х, у) i->
i->(1 +у - ах2, Ьх), которое гораздо труднее для анализа.
2. Отображение Белых (см. 4°). Возьмем /=[-1, 1], квадрат К=1х1 и
прямую L= {(х, у) | у = /сх}. Рассмотрим отображение /, заданное формулой
Оно было введено в работах Белых и его соавторов (см. ссылки в конце
лекции) в связи с некоторыми проблемами фазовой синхронизации. Наложим на
к2 следующие
ограничения:
Тогда f(K\L)cz К, и мы можем построить последовательность множеств Кп
=/(К"_ t \ L), Кп 2 Кп+i 3..., и их пересечение А - Р) К". Излагаемая в
этой и следующих лекциях теория
дает некоторую информацию о статистических свойствах отображения Белых на
множестве А.
3. Система Лоренца. Система Лоренца есть система трех обыкновенных
дифференциальных уравнений
Здесь а, г, b-численные параметры, имеющие определенный физический смысл.
Система (1) была введена известным американским океанологом, климатологом
и птдроцишшиком
Э. Лоренцем (см. 5°) при изучении некоторых моделей конвекции, но
здесь эту сторону проблемы мы обсуждать не будем. Система (1) удивительно
проста, однако ее динамика
/(". У)={
Xi(x - 1)+1, А-2 (у - 1)+ I при у > Лгх.
Х,1(х+1)-1, Му+1)-1 пРи У<?х
п
dx
¦-= -ах + ау,
dt
dy
- - гх -у - xz, d'
(1)
оказывается чрезвычайно сложной. После того как она стала известна
физикам, идеи динамики со стохастическим поведением и странных
аттракторов приобрели большую популярность.
Объясним теперь, как при изучении таких гладких динамических систем, как
система Лоренца, возникают разрывные
отображения (см. [5]). Численный счет и качественные соображения
показывают, что существуют значения параметров <т0, г0, Ь0, при которых
(1) имеет ряд специальных свойств, перечисляемых ниже.
1. Точка О = (0, 0, 0) является неподвижной точкой. Она имеет
одномерное неустойчивое многообразие у<и)(0) (см. лекцию 6), выходящее из
точки О, и двумерное устойчивое многообразие у<5)(0), состоящие из таких
точек, полутраектории которых стремятся к О при t-* + оо соответственно.
Их примерный вид представлен на рис. 16.2.
2. При этих значениях параметров имеются два периодических решения П),
П2, которые переходят друг в друга при симметрии (х, у, z)r-+( -х, - у,
z). Оба П1; П2 имеют двумерные устойчивые многообразия r(,)(ni), Г<5)
(П2), которые локально выглядят как двумерные цилиндры и состоят из
траекторий, наматывающихся на П;, 7=1, 2, при t-+ оо (рис. 16.3).
3. Значения <т0, г0, Ь0 выделены тем, что левая (правая) ветвь у00 (О)
принадлежит Г(,)(П2), (Г<3)(П!)) (см. рис. 16.4, где изображена только
половина картины, а другая получается по симметрии).
Рассмотрим горизонтальную плоскость Р={(х, у, z)| |z = z0}, пересекающую
П1, П2 и проходящую не слишком
166
далеко' от О. Пересечение Р П 7<,) (О) локально представляет собой
