Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
же аргументы показывают, что
| Д" | < const - ехр {-const • ф (у)-const • | п | у}.
В частности, | Д21 <const • ехр {- const • ф(у)}, что и требовалось
получить.
Остаток этой лекции посвящен доказательству леммы 2. Мы рассматриваем
одномерное уравнение Шредингера
- ф " + (A+W (х)) ф =/, А = const > 0. (26)
149
Предположим, что W(x) можно продолжить аналитически в полосу 0Р таким
образом, что будет выполнено неравенство
| ^(x)|<Cexp{-A.|Rex|}. (27)
Здесь л>0-постоянная, \<у/а, и нижняя грань С, при которых выполнено
(27), может рассматриваться как некоторая норма || W||. Пространство
функций, для которых || * || < оо, обозначим ФрД. Возьмем ф0 е ФРд', для
которой
-Ф5+И + ^)Фо=0.
со
Мы хотим показать, что если /еФрд, J fty0dx = 0, то
- со
решение (26) существует и \|/еФрд. Более того, при некоторой постоянной К
ИФК*||/11.
Пусть <70(х - у) = ехр{ - у/л |х - у |} - функция Грина оператора Еф= -
\|Г' + у4\|л Тогда (26) эквивалентно уравнению
где
ф+ J Go(x-y) w{y)^{y)dy=f1,
/1 (х) = J G0(x - y)f(y)dy - J G0(y)f{x-y)dy.
(28)
Покажем, что /еФрд и, в частности,/можно аналитически продолжить в полосу
Ор. Пусть хеОр, Rex>0. Если |/(х)|^Сехр{ - X|Reх|}, то тогда
J Go(y)f(x~y)dy
S Go(y)f(x-y)dy
+
+
J Go (у)/(х - у) dy <
Lex
] GG(y)e-x^x~y)dy + C J e~^ydy =
- co Rex
CO
J y/A
- CO
< const • exp {- X Re x}.
= e
(29)
150
Таким образом, /i еФрД, ||/х || =$const ¦ ||/1|. Для решения
(28) используем формулы Фредгольма. Положим К(х, у) =
00
= G0(x -у) fV(y), (х) = J К(х, у)ф(у)</у. Ядро оператора
- оо
(/-рА)-1 может быть записано в виде D(x, у; р) Л ~1 (р), где Л(х, у; р) и
D(р) даются формулами Фредгольма
В(Х',У7,="I' ^
где Ал ь 2''" I есть определитель матрицы 11АГ(ху,)||.
\Уь У2> •••> Ут/
В нашем случае Л(1) = 0, поскольку 1 есть собственное значение (28).
Однако решение нашей задачи существует в пространстве L2. Поэтому |Л(х,
у; р)/х(у)^у->0 при р->0. Это показывает, что решение, которое мы ищем,
может быть записано в виде
00
^^ = ^T(ij J D * (*" У; ^ (у) (30>
- 00
Покажем вначале, что Л р(1) конечно. Мы имеем Из вида К следует, что
Со (ОКО;,-У ...G0 (4,-U Go(42-4,)Go(0)...Go(42-y) Go(y-4,)-Go(0)
Неравенство Адамара показывает, что последний детерминант не превосходит
тт12 (const)"1. Следовательно,
наа:
dki-dk.
^wm/2(const)'n(J| W{\)\d\)m (31)
и ряд для Лц(1) сходящийся. Далее,
151
Решение пропорционально
...W(U)g(X' ""\m')dyd?>1.:.d?>u,
\y, ...,
где
r = r /х, %i, ••¦> S-Л- G0(x-y)Go(x-Si)...Go(x-5*) I \У. Si, \m) G"(U-
y) ... Go(0)1 •
Удобно положить y = So- Тогда G = G0(x-?0) Uo(t,i... Sm)+G0(x -Si) U^o,
Si, ..., S")+-
... + G0(x-U^(U Si, U-
Интеграл в (31) можно переписать следующим образом:
s-мы щьо) щь)~ -dlm= = |{-.{/(Ы^°) "%)•¦•
... W(?,m) Go (x-Si) C/i (So - U <*So... ^m.
Произведем замену переменных x -^0 = Ло. x -Si =г|ь ¦¦¦ ...,x-^m=Tim.
Функции t/i(6,0-Sm) перейдут в uf(r)o, -, Л"), не зависящие от х,
поскольку матричные элементы зависят только от разностей -= Л1- Поэтому
/-й гштеграл равен
/=(_1)n,J-J/(x_rlo) Их-Ло) ^(х-Лг)-.. Их-Лт)х
xGo(m)^i(no ...Лт)^Ло^Л1 ..^Лт (32)
Мы можем оценить I/, опять с помощью неравенств Адамара: I ?Л(Ло -
Л1п)К(соп81)т(т+ 1)<я+1>/2. Тем самым, интеграл в (32) сходится. Более
того, каждый член может быть аналитически продолжен в Ор, поскольку
If'(x), /(х)еФрД. Для оценки (31) напишем при 1Ф 0
(Л^-ЛЛх-По) ^(х-Ло)1-1 ^(х-Лг)!-
...|^(х-л")меоЫ11"г(х-Л(+1)1-
...| 1У(х-Лт)П 1/,-(ло-Ли)МЛо...^Л*< <(const)m(rn+l)<m+1)/2C J | ^(x-
p.MGofaJ^li-
- со
152
Последний интеграл оценивается так же. как (29), и это дает const • ехр
(- X | Re х |}. При i=0 мы должны оценить Л/о(х -Ло) ^(x-
t1o)|Go(tio)^tio, что делается так же, как и выше. Тем самым (31) не
превосходит
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° Теорема Адамара - Перрона обсуждается во многих книгах и работах,
например:
[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных
уравнений.- М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
[2 ] Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римано-вых
многообразиях отрицательной кривизны//Труды Матем. института им. В. А.
Стеклова.- 1967.- Т. 90.- С. 1-235.
[3] Hirsch М., Pugh С., Shub М. Invariant manifolds //Lecture Notes in
Math. V. 583.- Berlin: Springer, 1977.
2° По поводу метода Мельникова см.
[4] Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени
возмущениях//Труды Моск. Мат. Об-ва.- 1963.- Т. 12,-С. 3-52.
[5 ] Арнольд В. И. Математические методы классической механики.- М.:
Наука, 1974.- 432 с.
3° Теорию рассеяния см., например, в книге
[6] Reed М., Simon В. Methods of Modem Mathematical Physics. V. III.
Scattering Theory.-Academic Press, 1979.- 464 p. (Русск. пер.: Рид М.,
Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3.
Теория'рассеяния.-М.: Мир, 1982.
4' В работе Филоненко, Сагдеева, Заславского
[7] Filonenko N. N., SagdeevR. Z., Z a si a vs к у G. М.// Nuclear
Fusion.- 1967.- V. 7.- P. 253.
На физическом уровне строгости была предложена следующая асимптотическая
