Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
лемма Обри утверждает, что если {хт} есть основное состояние, то
существует предел
lim -х" = р, который по естественным причинам называется
п-* со п
числом вращения. Заметим, что аналогичное утверждение для геодезических
класса А может быть найдено в работах М. Морса [3] и Г. Хедлунда [8].
Для любого р существуют основные состояния. Если р рационально, p=pjq, то
соответствующее основное состояние есть (р, ^(-конфигурация. На самом
деле доказательство теоремы 1 уже дает основное состояние. Для
иррациональных р можно найти такие измеримые периодические функции /'р(ф)
периода 1, что все основные состояния с данным р параметризуются точкой
aeS1 и могут быть записаны в следующем виде: xm=m р + а + Ер(тр + а). При
этом возможны два случая:
1. Ер непрерывна. Тогда отображение g: S1-*C, где
?(ф)=(р+Ер(ф)-Ер(ф-р), ф + Ер(ф)), определяет замкнутую кривую Гр на С.
Легко видеть, что все траектории {z", ф"}, отвечающие основным
состояниям, лежат на Гр. Это означает, что если Ер непрерывна, то Т имеет
инвариантную кривую. На этой кривой Т в надлежащей переменной сводится к
вращению
5*
131
на угол р. Используя одну теорему Биркгофа [4], можно показать, что Гр
есть график некоторой функции z=/"(cp), удовлетворяющей условию Липшица.
2. F" разрывна. В этом случае Fp-чисто разрывная функция, т. е. сумма
ее скачков равна 1. Тогда Т имеет замкнутое, нигде не плотное
инвариантное множество, проекция которого на ось ср представляет собой
также замкнутое, нигде не плотное множество. Следуя Персивалю, мы будем
называть такие множества кантороторами.
Теория Обри-Мезера ничего не говорит о существовании непрерывных функций
Fp. Эта проблема может быть рассмотрена с помощью известной теории
Колмогорова-Арнольда- Мезера (теории КАМ), которая достаточно широко
известна. Случай стандартного отображения и отображений с перекручиванием
специально рассмотрен в книге Ю. Мезера [9]. Мы сформулируем только
результат.
Теорема 3. Для всех достаточно малых к существует множество Rk с [0, оо)
чисел вращения такое, что
1) i(Rk П [0, /])-*•/ при /с->0, для любого t;
2) для любого peRk существует инвариантная кривая Гр, для которой
соответствующая функция /р вещественно-анали-
тична; более того, 1(с, П 1J Гр)->/ при к->0 для любого t, где
peR*
с, есть подмножество цилиндра c, = {(z, ср), \z\<t}.
В I) и 2) I означает меру Лебега.
Конструкция инвариантных кривых в теории КАМ не имеет ничего общего с
теорией основных состояний. В действительности требуются дополнительные
аргументы для того, чтобы показать, что траектории, которые лежат на КАМ-
кривых, соответствуют основным состояниям (это было сделано в работе
Лазуткина и Термана [10]).
Покажем теперь, что при к> 1 отображение Чирикова не имеет инвариантных
кривых, которые могут быть заданы непрерывными функциями z=/(ср). Условие
инвариантности приводит к следующему функциональному уравнению для /:
/(cp) + fc sin 2яср=/(ср+/(ср) + & sin 2яср). (7)
Теорема 4 (см. [12]). Если к> 1, то уравнение (7) не имеет непрерывных
решений.
Доказательство. Вначале покажем, что ср+/(ср) + sin 2яср принимает каждое
значение только один раз. В самом деле, если для
сРг +/(ф2)+к sin 2яср2 = ф 1 +/(ср 1) + к sin 2яср i, (8)
132
то из (7) следует
/(фг)+? sin 2лф2=/(ф1 )+к sin 2лф!
и ф2 = ф!, что противоречит неравенству ф!<ф2. Поэтому функция F(ф) =
ф+/(ф) + Л sin 2лф строго монотонно возрастающая, поскольку /'(ф-Ь 1) =
^(ф)+1. Заметим теперь, что
О^шах [/(ф)+& sin 2лф] -min [/(ф)+& sin 2rop]< 1. (9)
<р ф
В самом деле, пусть
/(ф')+& sin 27Гф' = тах [/(ф) + & sin 2лф],
Ф
/(ф')+& sin 2лф" = тт [/(ф)+& sin 2жр]. ф
Если ф'<ф", то из монотонности F
0</(ф')+& sin 2rop'-(/(ф")+& sin 2лф")<ф" -ф'< 1.
Если же ф"<ф', то в силу той же монотонности F ф"+(/(ф")+& sin (2лф")<ф'-
|- (/(ф') + & sin 2лф'),
0<(ф' - ф")+(/(ф') + & sin 2лф')-(/(ф ")+& sin 2лф'')< 1 и тем более
(f(<p') + ksin 2яф')-(/(ф")+А:sin 2лф")< 1.
В частности,
(/(1/4) + *)-(/(-1/4)-*Ц1,
т. е.
/(1/4)-/(-1/4)<1-2*<-1. (10)
Возьмем ф, ф, для которых
/(ф+/(ф)+? sin 2лф) = пйп/(ф),
Ф
/(ф+/(ф)+? sin 2лф) = шах/(ф).
ф
Тогда с помощью (7) и (9) получим min/(ф) -max/(ф) =
Ф Ф
=/(ф+/(ф)+& sin 2лф)-/(ф+/(ф) + & sin 2лф)> - 1,
что противоречит (10). Теорема 4 доказана.
Обозначим через ксг наибольшее значение параметра, такое, что при всех
к>ксг отображение Т не имеет инвариант-
133
ных кривых, охватывающих С. Значение кст было исследовано впервые
численно в работе Дж. Грина [13]. Его результат дает кст = 0,972/2п.
Наилучшая оценка типа машинных доказательств была получена в работе Мак-
Кая и Персиваля [14]: А:сг <0,984/2я. Теоретические оценки кст снизу
значительно менее точны. Дж. Грин в [13] численно показал также, что при
к = ксг последняя кривая Гр соответствует числу вращения
р = ¦*"-- (золотое сечение).
При к>кС1 все инвариантные кривые Гр уже разрушились. Тем самым для таких
к возможны неограниченные траектории Т. Сформулируем несколько гипотез,
