Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
касающихся этих траекторий. Ни одна из них в настоящий момент строго не
доказана.
Н1. Для к>кст существует подмножество А с С положительной лебеговской
меры такое, что
J z*(z0, (po)dz0d(p0~const п при и-юо. л
Иными словами, среднее смещение точки под действием динамики растет как
ч/п, т. е. так же, как смещение точки при случайных блужданиях.
Динамическая причина, из-за которой Н1 может быть верна, состоит в том,
что при к>ксг инвариантные кривые разрушились и превратились в
кантороторы. Между кан-тороторами образовались щели, через которые
возможен переход. В работе Мак-Кая, Миса и Персиваля [15] было введено и
изучалось понятие потока через канторотор.
JI. Пустыльников [16] показал, что существует бесконечное множество
значений к, при которых можно найти множество положительной меры BkczC
такое, что zn(z0, <р0 )> const -п для всех (z0, ф0 )еВк. Однако есть
основания полагать, что для точек (z0, Фо )еВк их траектории являются
нетипичными.
Н2. Отображение Чирикова Т может быть естественно сведено к отображению
двумерного тора, если переменную z также рассматривать mod 1. Тогда
энтропия по отношению к мере Лебега h(T)> 0 для всех кф0 и, более того,
стремится к бесконечности при к-*со.
В следующей лекции мы докажем теорему, которую можно рассматривать как
частичную поддержку Н2.
Анализ Т в окрестности к=ксг проводится с помощью упоминавшегося ранее
метода ренормгруппы. Очень интересные относящиеся к этому результаты были
получены в неопубликованной диссертации Р. Мак-Кая [17].
134
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° По поводу преобразования Чирикова см. его обзор
[1] Chirikov В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator
systems//Physics Reports.-1979.-V. 52.-P. 263-379.
Иногда в западной литературе встречается также термин "преобразование
Чирикова-Тейлора".
2° По поводу основных состояний решетчатых систем статистической механики
и их роли в теории фазовых переходов см.
[2] Синай Я. Г. Математическая теория фазовых переходов.- М.: Физматгиз,
1981.
3° Геодезические класса А изучались в работе
[3 ] М о г s е М. A fundamental class of geodesics on any closed surface
of genus greater than one//Trans. Amer. Math. Soc.- 1924,-V. 26,-P. 25-
60.
Упомянутую выше теорему Биркгофа см. в работе
[4] Birkh off G. D. Sur quelques courbes fermees remarkable// Bull. Soc.
Math. France.-1932.-T. 60.- Collected Papers. V. 11.- p. 444-461.
См. также
Биркгоф Дж. Динамические системы.- М.: Гостехиздат, 1941,-320 с.
4° Теорию Обри-Мезера см. в работах
[5] Aubry S. The twist map, the extended Frenkel-Kontorova model and the
devil's staircase//Physica D.- 1983.-V. 7D, № 1 - 3,-P. 240-258.
[6] Mather J. N. Existence of quasi-periodic orbits for twist
homeomorphism of the annulus//Topology.-1982.-V. 21, №4.- P. 457-467.
[7 ] P e г с i v a 1 I. C. A variational principle for invariant tori of
fixed frequency//J. Phys: A: Math. Nucl. and Gen.- 1979.-V. 12, № 3.- P.
57-60.
5° Следующие далее ссылки были упомянуты в тексте лекции.
[8 ] Н е d 1 u n d G. A. Geodesics on a two-dimensional Riemannian
manifold with periodic coefficients//Ann. Math., Ser. 2.-1932.-V. 33, №
4,-P. 719-739.
[9] Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах.- М.: Мир, 1973,-165 с.
[10] Lazutkin V. F., Terman D. Percival Variational Principle for
Invariant Measures and Commensurate Incommensurate Phase Transitions in
One-Dimensional Chains//Comm. Math. Phys. 1984.- V. 94, № 4,-P. 511-522.
Наилучшие оценки снизу параметра ксг, насколько мне известно, были
получены в работе
[11 ] Celletti A., Chierchia L. Rigorous Estimates for a Computer-
assisted KAM-theory//J. Math. Phys.-1987.- V. 28.- P. 2078.
Более тонкие аналитические оценки области значений параметра к, при
которых уравнение (7) не имеет решений, см. в
[12] Mather J. N. A criterion for non-existence of invariant circles //
Erg. Th., Dyn. Syst.-1984.-V. 4.-P. 301-309.
[13] Greene J. M. A method for determining a stochastic transition//!.
Math. Phys.-1979.-V. 20.-P. 1183-1201.
[14] Mac-К ay R. S., Percival I. C. Converse KAM: Theory and
Practice//Comm. Math. Phys.-1985.-V. 98.- P. 469.
[15] Mac-Kay R. S., Meiss J. D., Percival I. C. Transport in Hamiltonian
systems//Physica.-1984.-V. 13D.-P. 55-68.
135
[16] Mather J. Variational Construction of Orbits of Twist
Diffeomorphisms.-Preprint.-Princeton University, 1990.
[17] Пустыльников JI. Д. Об асимптотическом поведении траекторий
стандартного отображения // Матем. заметки. 1986. Т. 39, № 5.-С. 719-726.
[18] Мас-Кау R. S. Ph. D. Thesis Princeton University, 1982.
ЛЕКЦИЯ 14
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ТОЧКИ,
ИХ УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ И
ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ
Рассмотрим снова отображение Чирикова Т( z, tp) = = (z', <р'), где
z' = z + >.sm2jt(p, (p' = (p+z'(mod 1). (1)
Допустим, что ),>0 мало, 1. Введем новые перемен-
ные Ъ - гк~ 1/2Ф = ф. В этих переменных Т принимает вид Т(Z, <S>)=(7J,
Ф'), где
^-^ = яп2геФ, ^ = Z'. (2)
