Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
гладкую кривую R0 (см. рис. 16.4 и 16.5). Поскольку Р пересекает П1} П2,
то она пересекает также и Г**1 (nt), Г(5,(П2). Обозначим эти пересечения
через Rlt R2 (см.
f, "о
Рис. 16.5
рис. 16.5, где плоскость Р изображена вертикально), а через А1, А2-точки
пересечения Rl} R2 с nt, П2. Нам понадобятся также точки В1г В2, которые
представляют собой точки первого пересечения у(и,(0) с Rl7 Rz
соответственно (рис. 16.5).
4. Построим криволинейный четырехугольник U с R, у которого одна пара
сторон состоит из Rt, R2, а другая пара сторон Qu Q2 строго не
фиксирована (рис. 16.6), и рассмотрим отображение Пуанкаре Т на U.
Напомним, что отображение Пуанкаре определяется следующим образом. Из
любой точки u0sU выпустим траекторию до первого пересечения с U. Это
пересечение и есть Ти0.
Поскольку r(s,(ni), Г(Я,(П2)-устойчивые многообразия Пь П2, то легко
понять, что TRi cz Ri, TR2 cz R2. Если
167
и0 близка к R0 и лежит слева от R0, то вышедшая из нее траектория в
течение большого интервала времени будет двигаться вдоль F(s,(0),
приближаясь к О, но затем она начнет уходить от О вдоль левой части
у<и,(0). Поэтому она пересечет U в малой окрестности В2. Пусть u0^>R0.
Тогда образ точки и0 под действием отображения Пуанкаре стремится к В2 .
Можно сказать, что "левый берег" R0 переходит под действием Т в В2, а
"правый берег"-в Вх. Это показывает, что Т терпит разрыв на R0. На рис.
16.7 показаны образы
левой и правой половин U2, U2 области U. Стороны Qt, Q2 можно выбрать
так, что эти образы будут состоять из двух связных компонент. Теория,
строящаяся в этой и последующих лекциях, применима к подобным
отображениям.
Вернемся теперь к общей ситуации. Рассмотрим кусочногладкое отображение Т
фазового пространства М с кусочногладкой границей, причем Г-1 определено
и принадлежит к тому же классу отображений. Следующее понятие, по
существу, уже встречалось в лекции 6.
Определение 1. Открытое С 2 -подмногообразие у <= М, положительной
размерности, гомеоморфное шару, называется локальным устойчивым
многообразием (л. у. м.) точки хеМ, если
1) хеу;
2) для любого уеу точки Тпх, Тпу принадлежат одной и той же компоненте
гладкости Т при всех и >0;
3) supdistr"Y(rnx, Тпу)-> 0, п-юо;
уеу
здесь distri,Y есть расстояние, вычисленное во внутренней метрике Тп у.
Если в 2), 3) и^О и п-* - со, то у называется локальным неустойчивым
многообразием (л. н. м.).
168
Мы будем обозначать л. у. м.. л. н. м. точки х через у(5,(х), Y(u,(x).
Определение 2. Устойчивым многообразием (у. м.) точки х называется
множество таких точек у; для которых найдутся п(у) - п>0 и y(s)(7'"x)
такие, что 7"у еу<Л,(7"х).
У. м. обозначаются Гы(х). Ясно, что F(s)(x) = (J T~"yis>(T"x).
О
Аналогично определяются неустойчивые многообразия (н. м.)
Г(и)(х)= У 7"у(и,(7""х).
О
Определения 1 и 2 естественно переносятся на случай потоков.
Ясно, что
Гм(Г"х)= Г"Г(5)(х), Г(и)(7"х)= 7"Г(и)(х)
при всех п, -со<п<со.
Пусть <=Rk - открытое множество, 7 есть Сх-диффео-
морфизм, заданный на 4f0, и аИ х = Т%0 <= <%0, причем С1 {°И() с <=Уо,
где С1 - замыкание. Тогда множества Т" - образуют убывающую
последовательность открытых множеств. Рассмотрим Я = (] Т"аМ Иногда А
называется аттрактором,
л>0
поскольку для всякого хеФ0 точка Г"хе%, и тем самым полутраектория х
притягивается к А. Поскольку замыкание С1(Ф0) 3 У о, т0 ТУ0 с С\(ТШ0)с У
о, и поэтому Я= Р) Г"С1(^о)- Тем самым Я замкнуто как пересечение
п >0
последовательности замкнутых множеств. Если хеА, то вся траектория {7"х,
-оо<и<оо} точки х принадлежит Я. Это утверждение очевидно для л>0. Если
л<0, то, поскольку X?(r)"_" при всех т>п, ТпхеУт, т. е. 7"хеЯ.
Лемма 1. Если хеА, то н. м. Г(и,(х)еЯ.
Доказательство. Пусть уеГ(и)(х). Мы покажем, что уе'Шт при любом т^О. При
некотором ло(у) = ио>0 имеет место включение 7'-"°уеу<и)(7'-"°х).
Поскольку
dist(7~"0-"y, 7-"о~"х)->0 при п-юо и Г-"°""хеЯ, то
T~"°~"yeU0 и уеT"0 + "U0 <= Um, если п достаточно велико, что и
требовалось доказать.
Лемма 1 показывает, почему в последующих рассуждениях н. м. играют более
важную роль, чем у. м.
Вернемся к общим кусочно-гладким отображениям.
Возьмем такое множество М0 <= М, что каждая точка х е М0 имеет н. м.
Г(и)(х). Допустим, что на каждом Г(и)(х) задана a-конечная мера v х).
169
Определение 2. Семейство мер v ... называется
Г \х)
инвариантным, если для любых борелевских множеств В\, с Г(||)(х) конечной
меры
v (.) (#l) v u.) (TBl)
ГЧх) _ rW(Ti)' '
V (B2)~V(,) (TB2)
rW(i) r'(Ti) '
Сейчас мы покажем, что при некоторых естественных предположениях динамика
создает инвариантные семейства мер. Рассмотрим случай, когда для точки х
все у(и)(7'"х), л<0,
Т~~ *
принадлежат классу С2 и ум(Тпх)~*¦ у(я,(7'"-1х) есть равномерное сжатие,
т. е.
1) при некоторой постоянной X, 0<Х< 1, и всех п< О
diStr"")(7-'x)(7''1y'' 7'"1y")<J-di8tT"(T<""U))(y'> У");
2) при некоторых постоянных р, Со>0, зависящих от х, для всех л>0
distT".)(r"x) (r-х, Зу <"> (Г"х)) ^ Со | л гр.
