Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы все F" были бы ортогональны к Xq, т. е.
Покажем, что (10) действительно имеет место. Функция х0 (/) нечетна, и
поэтому х'0 (/) четна. Из (8) легко следует, что (9.п) имеет нулевое
решение при нечетных п, и поэтому для таких п соотношение (10)
справедливо. Напишем теперь ir" = Z1- Z2, где
Сделаем индуктивное предположение, состоящее в том, что все хт являются
нечетными функциями, l^m^n. Тогда К(х0(/)) есть четная функция /, а Ъ2
есть нечетная функция. Функция Xt в (12) имеет ту же четность, что и /, в
то время как И(, + 1)(х0) имеет противоположную четность. Поэтому V{, +
1)(Y0)Xi будет при всех / нечетной функцией, и тем самым F" также будет
нечетной функцией. Обозначим через Н2 пространство функций, ортогональных
к х'0. Мы показали, что Р"еН2, и поэтому мы можем взять xn = D~lFneH2. Из
того, что И"(х0) четна, легко следует, что х" нечетна. Включение F"eH
будет следовать из дальнейших оценок.
Лемма 1. Решение (9.0), для которого х0 (/)-> -1/2 при t-* - оо, х0(/)-
>1/2 при /->оо, может быть аналитически продолжено в полосу Oh(s = {t\
|Im/|<A0} при некотором h0>О и удовлетворяет оценке | х0 (/) +1/21< С ехр
{ - А.01 Re /1} при Re/^О, |х0(/)-1/21^Сехр{ -Х.0| Re/1} при Re/^О. Здесь
А.о>0, С>0 - некоторые постоянные.
Доказательство леммы вытекает непосредственно из аналитических формул,
задающих х0 (/), и более подробно проводиться не будет. Положим А =
%/К"(1/2)>0 и возьмем X, О<A.<min(А.о, А). Введем пространство Флд
функций
142
СО
J Fnx'0dt = 0.
(Ю)
- со
z.= i
1 = 2 l'
(П)
Л+-+Л""
1 ¦. Л<л- 1
" о ли
I ХЛХЛ...ХЛ,
(12)
(13)
которые аналитичны в полосе Oh = {t | | Im Г | </г} и удовлетворяют
неравенству
| w(r)|<Cexp{ - Я. | Re т |} (14)
при некотором С. Нижняя грань С может рассматриваться как норма в Ф*д.
Лемма 2. Существует K=K(h, А.)>0 такое, что для РеФ"Л(]Н2 образ
D~lFe0^eH2 и || D~lF\\ || Л1-
Доказательство леммы приводится в конце этой лекции. Используя лемму,
покажем теперь, что если и (у) есть
обратная функция к у=-то тогда zn(r) = xo(/) + Y2X2(0 + - л In и
... +у2"х2"(г) удовлетворяет оценке
en(0 = lzn(^+ 1)y) -2zn(ry)-|-zn_1 ((г-1)у)-у2 ^'(zn(/y))|<
<ехр{ -const-v|/(y) -A.|Rer|}. (15)
Мы выведем утверждение теоремы из (15).
Оценим вначале х"(г). Покажем, что х"(г) аналитичны в полосе Ob = {t | |
Im г | < /г} и удовлетворяют неравенствам
1М01"Р.(И)> (16)
где фп(г) = с2п_1и',[1ти]2',ехр{ - Я. | Re г |}, А. фигурирует в лемме 2,
с> 1 будет выбрано позже и lmx = max(lnx, 1).
Доказательство (16) проводится по индукции. Предположим, что при т<п
функции хт аналитичны в полосе Ohm,
т
hm = h0~YJ^s, v.^CiS^Mn-372^,
S- 1
и удовлетворяют в Ohm неравенствам |хт(г)|<фт(г). В качестве й0 можно
взять любое число, меньшее, чем р. Более точный выбор будет сделан позже.
Докажем теперь (16) для х" в полосе 0Нщ. При и=1 это легко следует из
леммы 1. Функция х" есть решение уравнения
х.-К"(х0)х. = /;,
где F" находится в (11)-(13). Ввиду леммы 2 достаточно показать, что для
/еОА>
K=K{hn, А). (17)
Оценим отдельно и 12 (см. (11), (13)).
143
Выберем h0 таким образом, чтобы множество значений х0(г), /еОдо, лежало
бы внутри ,);2. Для любой точки zеОАо, z=y0(<), построим контур Г2 = Г,
принадлежащий области аналитичности V и inf I ? ^- z I > 1. Мы имеем
K(,+ 1)(z)
_(/+!)
2я
^ С2/,
С2 - некоторая постоянная. Теперь мы можем оценить |2il<C2 t/|х,| =
С2Х/|х,| + С2ХЛх,|<
1 = 2
Покажем, что
^5С2шах(|х21, |х3 |) + С2и2 шах |х,|.
4
max (I х21, |х3Щ
1
20 КС2п2 1
шах|х,|<
4 4лС2л
тФ.(М)-
(18)
(19)
Неравенства (18), (19) дают | 1 ф"(| < I).
2Л
Докажем вначале (19). Имеем
l*il^ I |хЛ|...|х,|. (20)
Л + -+Л = я 1<Л. Л<я-1
На основании индуктивного предположения |хЛ|...|хЛ|<
^С2--1 (Л)Л...(Л)Л(1шЛ)2Л-(1шЛ)адехр {-/.| Re/1}. (21)
Допустим, что ф(х) есть либо хх, либо (1тх)2\ Тогда
ф(м)-ф(п)<ф(м+1)ф(п-1).
Из последнего неравенства следует, что максимальное слагаемое в (20)
отвечает л0 = л - 1+1, j,= 1 для Общее число
таких слагаемых не превосходит и. Следующие по величине слагаемые
отвечают таxjs = n - l. Их число не превосходит и2.
5
Для следующих после них слагаемых max js = n - /- 1. Их число не
превосходит и3. Общее число остальных слагаемых не
144
превосходит и'. Теперь мы имеем
\Xl\^{(n-l+l)n'+1(]m(n-l^l))2{n-l + 1)n+
+(и-/)"¦'( 1т(и -/))2(п-')2(1п22)и2 +
+(n - l- I)"-'-1 (1т (и - /- 1))2<п-'~1)3(1п23)и3-|-
+ (и -/-2)п-,~2(1т(и -/-2))2<п-,-2) х
х 4 (In 24)и'} С 2п"1 ехр {- А | Re г |}. (22)
В нашем случае п - /+1<и - 3, поскольку />4, и тем самым (и-/+1)п-'+1<(и-
3)п-3=ип-и-3(/+3(и-3)-')-<п'3)<
<-^-гип. Аналогичным образом, (и -/)п_,<2 ~'ип_4, 1п
(и - /- 1)п~'~1<2~'ип-5. Мы используем эти неравенства для оценки первых
трех членов в (22), а для последнего слагаемого используем неравенство (и
-/-2)"_,_2и'<ип_2. Это дает
max|x/|<const- C~'+1 ¦С2л-/-п(1ти)2пехр{ - А | Re г |}.
1>4
Взяв С достаточно большим, мы получим (19). Доказательство (18) проще
ввиду неравенства
|х1|<{(и-/-Н)п~'~1[1т(и-/-1)]2<п~'+1)и +
