Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда (2) может рассматриваться как разностная схема для системы
дифференциальных уравнений, описывающей движение маятника
dZ
-=яп2яФ, -=Z. (3).
dt ' dt w
Иными словами, (3) есть предел (2) при к-*0. Система (3) есть
гамильтонова система с одной степенью свободы, имеющая
первый интеграл Н(Z, - 2 +-cos2лФ. Тогда интеграль-
2 2 тс
ные кривые (3) представляют собой линии уровня функции H(Z, Ф) на (Z, Ф)-
плоскости (рис. 14.1).
Нас будут особенно интересовать сепаратрисные решения, соответствующие Н-
1. Удобно рассматривать их как состоящие из точки (0, 0) ( = (0, 1) на
цилиндре) и двух кривых Г(5), Г(и) (рис. 14.2), проходящих через (0, 0)
под разными углами. Если (Z(0), Ф(0))еГ<5)(Г(и)), то решение (Z(t),
Ф(г))-"(0, 0) при - оо). По этой причине эти кривые называются
сепаратрисами или устойчивым и неустойчивым многообразиями точки (0, 0).
При / = 0 они совпадают в том смысле, что при продолжении по t в
противоположную сторону одна кривая переходит в другую.
136
При Х/0 мы будем иметь дело с отображением (2). Точка (О, 0) есть
неподвижная точка для Т. Линеаризация Т около (0, 0) имеет вид
Z' = Z+2fty/X Ф, Ф' = у/\г+Ф(1+2пХ).
(4)
Матрица dT=
. Ее детерминант равен 1, а след
1 2я,Д
^/х 1 + 2яХ
больше 2. Поэтому dT имеет одно вещественное собственное значение Hi>l и
другое р2< 1-
Рис. 14.1
Рис. 14.2
Пусть Т есть С'-диффеоморфизм С'''-многообразия М и некоторая точка О еМ
есть неподвижная точка Т, т. е. Г0 = 0. Обозначим dT дифференциал Т в
точке О; множество собственных значений dT обозначим Spec dT.
Определение 1. Точка О называется гиперболической, если Spec dTf^S1 = 0.
Если Spec^f){zl I z | > 1} / 0, Spec (dT) f) n{z| |z|< 1} /0, то точка О
называется собственно гиперболической.
Определение Г. О называется гиперболической периодической точкой Т, если
О есть гиперболическая точка Тр при некотором р/0. Наименьшее р
называется периодом О.
Предыдущее обсуждение показывает, что (0, !)) есть гиперболическая
неподвижная точка отображения (2).
137
Пусть О-гиперболическая неподвижная точка Сг-диффеоморфизма Т, к= #
{XeSpecdT\ |Х|>1}, /= # {XeSpecdT\ |Х|<1}. Тогда касательное пространство
0 к М в точке О можно разложить в сумму = + dim^~ (и> = к,
dim S'<s) = /, k + l=n, dT(S = dT(S'M) = S'(u). Более
того, в S'о можно задать такую метрику, что dT\ {dT)~ М 3~{у') будут
сжатиями в этой метрике. Напомним теперь Классическую теорему Адамара -
Перрона. Более общая форма теоремы Адамара - Перрона обсуждается также в
части V.
Теорема 1. Пусть О есть гиперболическая неподвижная точка Т. Тогда в
некоторой окрестности U точки О существуют к-мерное Сг~1-подмногообразие
Г<1,) и I-мерное Сг~1-подмногообразие Г(*\ проходящие через О и
обладающие следующими свойствами:
1. Если хеГ(1), то TrxeT(s) для всех г>0 и Тгх-*0 при r-юо. Если х?Г<1,),
то Т~гхеТ(и) для всех г>0 и Т~гх-*0 при г-*оо.
2. Касательными плоскостями к Г(1> и Г<1,) в точке О служат T(s> и S~(u>
соответственно.
3. Введем в U гладкие координаты (ut, ..., и") так, что k-мерная
координатная плоскость {ик, ..., ик, 0, ..., 0) касается 2Г<и> в точке О,
l-мерная координатная плоскость (0, ..., 0, ик + 1, ... ..., м") касается
в точке О. Тогда Г<и) может быть задана с помощью I С'1-функций:
"*+i=/i("i, м*),
Uk+2=fl{Ul, Uk), ..., ""=/(("!, ..., uk),
в то время как Г<s) может быть задана с помощью к С"~1-функций:
ui=gi(uk+i, мп),
U2=g2{uk+1, Мп), ..., М*=?*(м*+1, ..., М").
Доказательство этой теоремы может быть найдено во многих учебниках (см.,
например, [1 ]- [3]) и здесь обсуждаться не будет. Г<5) и Г<1,)
называются устойчивым и неустойчивым многообразиями точки О.
Следуя Пуанкаре, введем следующие определения.
Определение 2. Точка АеМ называется гомоклиниче-ской, если А ? Г(1)
(0)ПГ<и) (О).
Предположим теперь, что О есть гиперболическая периодическая точка Т
периода р, Tr0 = 0{r), l^r^p, O = O<0) = O<,',. Тогда каждая точка 0<г)
есть гиперболическая неподвижная точка Тр. По теореме Адамара - Перрона
она
138
имеет устойчивое и неустойчивое многообразия Г<5)(0(г)), Г(в)(0(,)).
Ясно, что Гм(0,Г'>)=7,Г'-Г>>ГМ(0<Г2>). Г<и)(0,г'>) = = 7'(ri '¦jip <") (о
Р*)).
Определение 2'. Точка А называется гетероклиниче-ской, если Ае
Г(s)(О,Г,))ПГ<и)(О,Г2)) при некоторых гг, г2.
Роль гомоклинических и гетероклинических точек для образования так
называемых стохастических слоев будет объяснена в следующей лекции. Мы
увидим при этом, что решающую роль играет то обстоятельство, что в точке
А многообразия Гм (0,Г1*) и Г<и) (0,Г2*) пересекаются трансверсально, т.
е. пересечение касательных пространств к Г<5) (0,Г1*) и Г'*0 (О1'2") в
точке А состоит только из нуля. Тем самым мы приходим к важной проблеме
проверки выполнения этого условия трансверсальности. Существует широкий
класс динамических систем, зависящих от параметра, где угол между
касательными плоскостями выражается в виде степенного ряда от параметров
с помощью так называемого метода Мельникова [4]. Этот метод описан
