Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
п s=0
всюду к J In fk((a)dP((a). Таким образом,
|h(? 1, Гф) - JIn/*(со)dP(со)| ^const е*.
123
Но
f In fk (со) dP(iо) = X In ф' Ov.J Ц
И
jJin/*"//* (to) - Jln<p'(x)</p(x)| <const ek.
Это дает
|А(?ь Г,) - J In ф ' (x)ф(x) I ^const ek.
Устремляя к-юо, получаем А(^ь 7^) = |1пф'(х)ф(х). Теперь основная теорема
для растягивающих отображений полностью доказана.
Впервые эта теорема была доказана А. Реньи [1 ]. формула для энтропии
была получена В. А. Рохлиным [2]. Общие кусочно-монотонные отображения,
для которых ф'(х)>1, рассматривались в работе Лясоты и Йорке [3].
Растягивающие отображения встречаются в ряде задач теории чисел. В работе
Р. Боуэна и К. Сэрис [4] были построены интересные растягивающие
отображения, отвечающие дискретным подгруппам группы движений плоскости
Лобачевского.
Рассуждения, которые мы выше использовали при доказательстве основной
теоремы, наверняка, не самые короткие. Однако они являются типичными в
теории гиперболических динамических систем и используются в более общей
обстановке (см. книгу Д. Рюэлля [5] и часть V).
Обсудим кратко теперь общую проблему построения абсолютно непрерывной
инвариантной меры для других классов отображений отрезка [0, 1] на себя
или в себя. Возьмем произвольную С 1-функцию ф(х) такую, что ф(х)е[0, 1]
для любого хе [0, 1 ]. Она задает отображение Гф: х-кр(х) отрезка [О, 1 ]
в себя. Плотность п (х) абсолютно непрерывной инвариантной меры
удовлетворяет уравнению Рюэлля-Перрона-Фробениуса
ям= V
У,:фЫ=х 1Ф'Ы1
Иногда бывает так, что множество, где я(х)> 0, есть объединение конечного
числа интервалов. Помня о таких ситуациях, введем следующее определение.
Определение 1. Отображение Tv имеет стохастическое поведение, если оно
обладает инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры
Лебега, и при этом А Т~пЕ = v0, где v0 есть конечное или счетное
разбиение.
Здесь, как и в части I, е обозначает измеримое разбиение на отдельные
точки.
Эквивалентная формулировка может быть дана в терминах ст-алгебр. А
именно, если ,Мп есть ст-алгебра подмно-
124
жеств вида Г, "С, С<^М, то МЯ^.МЯ+1'3.... и л Г, "e = v0 тогда и только
тогда, когда П Мп = Л~0, где есть
II
cr-алгебра, отвечающая конечному или счетному разбиению (см, лекцию 2).
Первый нетривиальный пример отображения Тщ со стохастическим поведением
был обнаружен фон Нейманом и Ула-
мом [6]. Для ф(х)=4х(1 -х) они нашли, что я(х)=- 1 Та
я^/х(1 -х)
же плотность обслуживает отображения Т9, где ср-произвольный полином
Чебышева. Заметим, что для ср(х)=4х(1 - х), ср'(1/2)=0, ф(1 /2) = 1 и
ф(ф(1/2))=0, т. е. второй образ критической точки есть периодическая
неустойчивая точка. Позднее было понято, что это свойство помогает
установить стохастическое поведение. А именно, Бунимович в [7] показал,
что Tx.={2nksin2ях}, к= ± 1, 2,..., обладает стохастическим поведением, а
Д. Рюэлль в [8 ] установил тот же факт для Г9о, Фо(х) = Л.0х(1 - х), где
Х0 выбрано так, что Фо°Фо°Фо(1/2) = у и у есть неустойчивая периодическая
траектория периода 3. Наиболее общий результат в этом направлении
принадлежит Огневу [9] и Мисюревичу [10]. Они доказали, что если
критическая точка за конечное число шагов переходит в неустойчивую
периодическую траекторию, то Т9 имеет абсолютно непрерывную инвариантную
меру. Теорема из [8] справедлива в гораздо более общей ситуации, а именно
для отображений с фбС3([0, 1]), у которых есть только одна
Г" з/УЛ2
критическая точка и производная Шварца Sf=---(- 1 <0.
Обсудим теперь с более общей точки зрения роль условия на траекторию
критической точки. Доказательство основной теоремы для растягивающих
отображений показывает, что существование абсолютно непрерывной
инвариантной меры должно быть так или иначе связано с неустойчивостью
отображения. Если ф имеет критические точки х" где ф'(х,) = 0, то в этих
точках оно в определенном смысле максимально устойчиво. Условие,
состоящее в том, что критические точки переходят в неустойчивые
периодические точки, как бы преодолевает эту устойчивость.
Можно наложить и более слабые условия на траектории критической точки.
Например, достаточно в некоторых случаях потребовать, чтобы траектория
любой критической точки оставалась на положительном расстоянии от
множества критических точек. Наиболее сильные результаты во всем этом
круге вопросов принадлежат М. Якобсону [11], который,
125
в частности, показал, что для семейства ф*(х) = Хх(1 - х) множество тех
значений X, где ф, имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру, имеет
положительную лебегову меру. Другие доказательства теоремы Якобсона даны
Бенеди-ксом и Карлесоном [12] и Гукенхаймером [13] и Рыхликом [14].
Недавно А. Блох и М. Любич [15] доказали, что если Ф имеет одну
критическую точку, 5ф<0 и Тч имеет абсолютно непрерывную инвариантную
меру, то эта мера эргодична. Неизвестно, будет ли всегда в этом случае
энтропия h(Tv)>0.
Вероятностная теорема, о которой идет речь в тексте, может быть выведена
