Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
5
4-m+l
найти столь большое т, что q(в) X 5s<e/3. Поэтому если
s = 2т + 1
МЫ ПОЛОЖИМ _ Я (с)
P(iт, L-U i-t)= п П n("*l"*-i> -
/=1 -t(e) + /(2m+l)^s^
^ - t (е) + (/+ 1) (2m + 1)
•••> *-t(c) + (/-l)(2m+l)+l> 1> 1> •••)> (5)
ТО _
Var...)<s/2.
Мера Р есть распределение вероятностей, соответствующее стационарной цепи
Маркова памяти 2т+1. Соответствующие условные вероятности имеют вид
Р(^'|Я> -••> Cm J/-т-1, I- Зт - 1)
т
= п 1).
5- -т
Введем линейный оператор П, действующий на пространстве вероятностных
распределений на словах (/", ..., порожденный условными вероятностями
Р. Он обладает
следующим свойством (см. выше):
P\imi "'i |/ - я,-1, ..., (-Зи-l) . л
-у:-----;-------------; Т ^ const = Со > О,
* (^п" i - m N-m-1" ¦**" * -3m-l)
где С0 не зависит от т. Обозначим /><0 т) стационарное распределение цепи
Маркова, отвечающей стохастическому оператору П. Тогда из эргодической
теоремы для цепей Маркова
Var(P(0 m), П/>)":(1-C0)Var(/5<0 m), Р)
для любого распределения вероятностей Р на словах im, ..., /_т. Применяя
это неравенство к (5) q{в) раз, где q(в) таково, что 2(1 -С0),<е)<е/2,
немедленно получаем
Var(/>, в/2.
Отсюда фазу вытекает утверждение леммы.
120
Теперь мы можем окончить доказательство единственности Р{0>. Обозначим Р-
i,, т индуцированное Р(0> распределение вероятностей на словах i-m, ...,
im. Из леммы 2 непосредственно следует, что Var(P(fР*0,
Допустим, что существуют два разных распределения вероятностей Р(0),
Q<C), удовлетворяющие требуемым условиям. Тогда для некоторого а>0 и всех
достаточно больших т справедливо неравенство Var(/,<°jn>m, Но
это противоречит неравенствам Var(P(-i,f", Р(0,",))<е, Var(Q(fi,iB1,
Р(0'т,)<е. Тем самым единственность Р доказана. Инвариантность Р
относительно сдвига следует из того, что сдвинутое распределение
вероятностей Р', F (C) = P(SC), имеет те же свойства, что и Р, и,
следовательно, в виду единственности должно совпадать с Р, что и
требовалось доказать.
Вернемся к нашим растягивающим отображениям. В лемме 1 мы построили
условные вероятности ц(/01 i-i, •••), удовлетворяющие 1) -3). Теперь мы
можем воспользоваться теоремой 2 и найти меру Р в пространстве И.
Определим меру
ц на [0, 1) посредством формулы р(С^;2 lm) = P(iu i2, ..., /").
Лемма 3. Мера ц эквивалентна мере Лебега I.
Доказательство. Мы должны сравнить р(С{*^3..........,_)
и /(С|");2> (_). Напишем (в обозначениях леммы 1)
где
Из доказательства леммы 1 легко следует, что
ехр {-const • ЗГ*"} /(4|4 ь ^^
<ехр {-const•Х.о^},
и из леммы 2 ехр {-const•Х.~уу}= •••' f'i)--^exp {const•X.q^}.
Таким образом,
ехр {-const- ? ^}<^&гу<ехр {const- ? A.^},
ISO * ISO
что дает утверждение леммы.
121
Покажем, что ц инвариантна относительно Т9. Мы имеем
т;1с?и= О cfftU и
7=1
Ц(7'-1С,...,.)= ? ц(С?Л) =
7=1
= ? p{j> 'b in) = P{ii, in) = n(Cl?LJ-
7=i
Здесь мы использовали инвариантность Р относительно сдвига.
Наш следующий шаг состоит в том, чтобы показать, что Т9 есть точный
эндоморфизм пространства с мерой (М, М, ц). Напомним (см. лекцию 7), что
точность означает, что пересечение разбиений Л T~ne = v (см. лекцию 7),
или если
л>0
Л(tm) есть ст-подалгебра множества вида Т~"С, Ccjf, то пересечение =
где Ж-тривиальная ст-алгебра мно-
Л
жеств меры 1 и 0.
Допустим, что это утверждение неверно и существует А, 0<ц(Л)<1, такое,
что А<^Л(п) при любом п. Для почти каждого хсА имеем
и(С1"!..г"ГИ) ,
- -т-j,-¦ -" 1 при и-юо,
где xeCj"1^. Напишем А = Т~"А", где \i(A") = \i(A). Мы покажем, что если
И (С?!.. f.n Т-"Ап) > (1 - е) ц (c!?.. О
при некотором е>0, то ц(С^..;>П7'_\4п)>(1-const-е)х х ц(С^..уJ для любого
набора ju ..., j", что означает ц(7'_пЛ")> > 1 - const • в, т. е.
|д(7'-"^") = |д(^)=1.
Мы уже показали, что условные меры
ц(с!:ц,-...л|а:ц)
при разных "!, ..., (" эквивалентны, т. е.
¦г ,4, -tV-t > const
для любых i, t, у. Но это немедленно дает нужное нам неравенство. Таким
образом, точность Т9 доказана. Это влечет также эргодичность Т9.
122
Замечание. Такие же рассуждения доказывают точность
эндоморфизма Гаусса Гх = |-| (см. лекцию 9).
Последнее утверждение касается вычисления И( Гф). Для любого к выберем
некоторую точку уСЯл и введем функцию fk(iu ..., ik), где fk(iu ..., 4) =
ф'(Уг,...J- Тогда
\fk{iu 4)-ф'(л:)|^Ек
для любого хе С^.Ль, et = const • А-о
Возьмем разбиение Оно будет, очевидно, образующим разбиением, и поэтому
Л(ГФ) = Л(^Ь Гф)= lim
(см. лекцию 6). Ввиду эквивалентности ц и меры Лебега / мы можем
исследовать
/.=-^iin/(ci:u)p(ci:u).
Имеем
/ (ctU)=I (cf. i!) • / (ct. ".)//( c\:z Ц).
Заметим, что
J ф' (x)dx = q>'(yii 'i ) •
CM ^
И
где | pn I ^ const * ?jt. Используя этот процесс и дальше, получим
/(сЯ0=П тт,-Ц-jexpj I Р"(tm)}'а*'
s = 0Jk\}s+U-,h + k) (m = )l J
где С^1^ак^Ск и Ск есть положительная постоянная, зависящая только от к.
Поэтому
-iln/(C<;.>.,.)=- Z ln/*('i+b-"'i+*) + - Z Pw.+-lna*.
2 " 1 = 0 " m = t n
j n - k
Сумма - У ln/t(/j+i, -, is+k) ограничена и сходится почти
