Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
двадцати лет назад в связи с некоторыми проблемами теории нелинейных
колебаний [1 ]. С тех пор отображение Чирикова было и продолжает
оставаться предметом многих глубоких исследований. Ниже мы обсудим
некоторые строгие результаты, относящиеся к Т. Вначале, однако, мы введем
более общий класс отображений, включающий в себя отображение Чирикова как
частный случай.
128
Возьмем функцию двух переменных L(у, у') такую, что
1. L(у+1, y'+l) = L(y, у'),
дусу'
и введем обобщенную модель Френкеля - Конторовой, для которой
потенциальная энергия такова:
[/({Xm}) = Z-L(Xm> Xm-l)- (5)
т
Определение основного состояния естественно переносится на этот случай, и
(2) принимает вид
dU^SL(xn+u х") | дЦх", x"--i)_Q д\" Зх" 8х"
Ввиду свойств 1, 2 формула (6) задает отображение цилиндра С. Такое
отображение называется отображением с перекручиванием, поскольку образ
любой вертикальной прямой есть
dz
кривая, для которой ->0. Для отображения Чирикова
Дф
1 к
Цъ у ) = - (у - У' - т)2 + (1 - cos2лу).
Многие свойства отображения Чирикова справедливы для всего класса
отображений с перекручиванием.
Наше определение 1 основных состояний близко к некоторым определениям в
статистической механике и дифференциальной геометрии. В статистической
механике широко распространены исследования решетчатых моделей. В этих
моделях рассматриваются решетки Zd и конфигурации cp = {cp(m)}, теZd,
заданные на них. Значения ф(п) часто предполагаются принадлежащими
конечному множеству Ф. Потенциальная энергия конфигурации ф во многих
случаях записывается в виде
бг(ф)= X ^((ф("), dist(", m)^Rj).
met1
Отдельное слагаемое описывает взаимодействие ф (т) с остальной
конфигурацией. Оно зависит только от вида конфигурации ф в окрестности
радиуса Я точки т. Число R называется радиусом взаимодействия.
Конфигурация ф называется основным состоянием, если для любой
конфигурации Ф, отличающейся от ф в конечном числе точек решетки,
5 Я. Г. Синай
129
?/(ф)> t/(v|>) (см. [2]). Ясно, что это определение той же природы, что и
определение 1.
Далее, рассмотрим гладкое компактное риманово многообразие Q и возьмем на
нем геодезическую у={\|/(/)}, - оо < / < оо. Следующее определение было
введено более шестидесяти лет назад М. Морсом [3].
Определение 3. Геодезическая у называется геодезической класса А, если
для любой кривой у', отличающейся от у конечным отрезком, 1(у')^1(у), где
I-длина.
Это определение имеет ту же природу, что и определение 1. В
действительности имеется много общего между теорией основных состояний
модели Френкеля-Конторовой и теорией геодезических класса А.
Вернемся к отображению Чирикова. Иногда нам будет удобнее формулировать
утверждения для модели Френкеля- Конторовой и затем переформулировать их
для отображения Чирикова. Пусть у>|А:|^0. Фиксируем два целых числа р, q
и рассмотрим всевозможные конфигурации {хт}, для которых xm+q = ' m+p.
Это означает, что все конфигурации являются периодическими с периодом р и
на каждом интервале длины р имеется q точек. Мы будем называть такие
конфигурации (р, q)-кoнфuгypaцuямu. Пространство (р, q)-конфигураций
обозначим Мря. Оно представляет собой конечномерное компактное
пространство, если допустить также конфигурации, у которых несколько
точек совпадают. Введем
t/P."({xn})=^ X ^(xn-x"_1-y)2 + ?(l-cos2xxn)J,
равную энергии конфигурации на одном периоде. Функция Upq определена и
непрерывна на Mp q. Поэтому существует (р, ^-конфигурация {xj?)}, для
которой
^Р."({Хт0)})= таХ ^Р."({Х"})-
Из предположения у>|А:|^0 легко следует, что {х^} есть
5х"
= 0, 1
•{*!?"}
Тогда соответствующая последовательность {zj,0), ф^0)} (см.
[4]) определяет траекторию Т, для которой {zli+q, <pi0lq} = {z("0),
ф!,0)}, т. е. {z<0), ф<0)} есть периодическая траектория Т периода q,
делающая р оборотов вокруг
130
цилиндра С. Мы будем называть такую траекторию (р, q)-траекторией. Эти
аргументы приводят к следующей теореме.
Теорема 1. Для любой пары (р, q) существует по крайней мере одна (р, д)-
траектория.
Теорема 1 может быть усилена следующим образом.
Теорема 2 (Биркгоф [4]). Для любой пары (р, q) существуют по крайней мере
две (р, д)-траектории.
Мы наметим только доказательство теоремы 2, опустив ряд деталей. Возьмем
(р, ^(-конфигурацию {xj^}, построенную выше, и обозначим {zj,0), cpj,0)}
соответствующую траекторию Т. Рассмотрим непрерывные деформации {х<°'}
следующего вида. Пусть /-единичный отрезок и Л: 1-+МР'Ч-непрерывное
отображение такое, что Л(0) = {х^|)}, Л(l) = L} и h(t)\^ есть непрерывная
возрастающая
функция t при каждом т. Положим U= max min Upq(h(t)).
h <e[0, 1]
Можно показать, что t/< t/p>4({xj?)}) и U=UPtq({x\i]}). Конфигурация
{xL1'} порождает (д, ^(-траекторию {zj,11, cpj,1'}, которая отлична от
{zi0), tpi0)}. Это и дает желаемый результат.
Обсудим теперь красивую теорию Обри - Мезера (см. [5],
[6], [7]), дающую достаточно детальное описание множества основных
состояний. Мы будем придерживаться здесь изложения Обри. Фундаментальная
