Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
из общих результатов Добрушина
0 свойствах гиббсовских распределений или из одной теоремы Рюэлля (см.
[5]), но мы предпочли привести независимое замкнутое доказательство.
ССЫЛКИ
[I] Ren у i A. Representations of real numbers and their properties//Acta
Math. Sci. Hungar.-1957.- V. 8.- P. 477-493.
[2 ] P о x л и н В. А. Точные эндоморфизмы пространств Лебе-га//Йзв. АН
СССР. Сер. мат.-1961- Т. 25- С. 499-530.
[3 ] L a s о t a A., Y о г k е J. On the Existence of Invariant measures
for piecewise Monotone Transformations//Trans. Amer. Math. Soc.- 1973.-V.
186.-P. 481-488.
[4] Bowen R., Series C. Markov maps Associated with Fuchsian
Groups//Publ. Math. IHES.-1979.-V. 50.-P. 153-170.
[5 ] R u e 11 e D. Thermodynamic Formalism.-Addison-Wesley:
Reading, 1978.
[6] UlamS. М., von Neumann J. On combination of stochastic and
deterministic processes//Bull. Amer. Math. Soc.-1947.-V. 53- P. 1120.
[7] Бунимович Л. А. Об одном преобразовании окружности//Мат. заметки.-
1970.-Т. 8.- С. 205-216.
[8 ] R u е 11 е D. Applications conservant une mesure absolutement
continue par rapport a dx sur [0,1]//Comm. Math. Phys.-1977.- V. 55.-P.
47-51.
[9 ] О г и e в А. И. Метрические свойства одного класса отображений
отрезка//Мат. заметки.-1980.-Т. 30.- С. 723-736.
[10] MisiureuriczM. Absolutely continuous invariant measures for certain
maps of an interval//Publ. Math. IHES.-1981.- V. 53.- P. 17-51.
[II] Jacobson M. Absolutely continuous invariant measures for certain
maps of an interval//Comm. Math. Phys.-1981.-V. 81.- P. 39-88.
[12] Benedicks М., Carleson L. On iterations of 1 -ax2 on [-1,
1 ] 11 Ann. of Math -1985-V. 122,-P. 1-25.
[13] Guckenheimer J. One-dimensional Mappings and Strange Attractors 11
Contemp. Math.-1987.- V. 58, Part III.- P. 143-160.
[14] Rychlik M. A proof of Jakobson's theorem//Ergodic Theory and
Dynamical Systems.- 1988.-V. 8.-P. 93-109.
[15] БлохА., Любич М. Эргодические свойства отображений
интервала//Функцион. анализ и его прил.- 1989.-Т. 23, вып. 1.-
С. 59-60.
126
ЧАСТЬ IV
ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ДИНАМИКИ
В этой части мы рассмотрим несколько проблем, относящихся к двумерной
динамике. В целом ряде случаев полные доказательства довольно длинные.
Поэтому иногда мы ограничиваемся только качественным обсуждением и
приводим соответствующие ссылки.
ЛЕКЦИЯ 13
СТАНДАРТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЕ
ЧИРИКОВА, ОТОБРАЖЕНИЕ С ПЕРЕКРУЧИВАНИЕМ,
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ, ТЕОРИЯ ОБРИ-МЕЗЕРА
Рассмотрим произвольную локально-конечную конфигурацию {хт} точек на
прямой R1. Локальная конечность означает, что число точек, принадлежащих
любому интервалу, конечно. Напишем формальное выражение для потенциальной
энергии этой конфигурации в виде
f/({xm})=^X(x-n-xm-i-y)2+^ ?(i-cos27txm). (1)
fft тп
Здесь у, к-параметры, первая сумма описывает энергию внутреннего
взаимодействия точек, а вторая сумма характеризует их энергию во внешнем
периодическом поле. Система точек с потенциальной энергией (1) называется
в статистической механике моделью Френкеля-Конторовой.
Естественная проблема, которая возникает в связи с (1), состоит в
нахождении конфигураций с минимальной энергией, или основных состояний.
Первая сумма принимает наименьшее значение, когда xm~xm_, =у, т. е. xm =
wy+a. Вторая сумма минимальна, когда все х" целые. Взаимоотношение между
ними как функция параметров у, к определяет всю сложную структуру
множества основных состояний. Введем теперь следующее определение.
Определение 1. Конфигурация {x^'J называется основным состоянием, если
для любой конфигурации {хт}, отличающейся от {xL0)} положением конечного
числа точек, т. е.
127
хт = х^( для всех т, |w|>.7V, разность U {хт} - [/({х^*}) неотрицательна-
.
= 0, - оо <п< со. (2)
К}=М'}
t/({xm})- t/({x<^)})=| ? [(хи-хи-1-у)2-
L |*|<К
-(х<?)-х^11-у)2]+^ ? (cos2nx^-cos2nxm)^0.
2Я |ni|"N
Из эТого определения сразу следует необходимое условие для того, чтобы
конфигурация {х*(r)*} была основным состоянием:
ЩЫ)
дх"
В явном виде (2) означает, что
-х*,°^1-(-2х|10) -x*,°_)1-(-fcsm27tx*O) = 0, -сослссо. (3)
Пространство последовательностей {х J,0)}, удовлетворяющих
(3), двумерно, поскольку любая пара начальных данных (хо0*, х*]0*)
определяет однозначно всю последовательность. Положим z" = x"-xB_!, ф" =
{хя}, где {•}-дробная часть. Тогда из (3)
zB + iPZB+*sin27t9B, фя+1 = фя + гя+ j (mod 1). (4)
По последовательности {z", фя} мы можем восстановить последовательность
{х"} однозначно с точностью до целочисленного сдвига.
Рассмотрим двумерный цилиндр С с координатами (z, ф), - oo<z<oo, фб[0, 1)
и отображение Т этого цилиндра на себя, задаваемое формулой T(z, ф) =
(г', ф'), где z' = z + /csin2лф, ф'=*=ф + г'(тоё 1). Выражение (4)
означает, что любому основному состоянию соответствует траектория
отображения Т, но не наоборот. Заметим, кроме того, что Т не зависит от
у.
Определение 2. Т называется стандартным отображением, или отображением
Чирикова.
Б. В. Чириков-советский физик, который ввел это отображение более
