Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В первом случае замкнутый путь In-i->In-2->In-i дает нам по лемме 1
периодическую точку периода 2. Во втором случае [min Orb х, min /х ] ф-
накрывает [max /ь max Orb x], и обратно. Таким образом, на основании
леммы 1 мы имеем периодическую точку периода 2. Лемма 3 доказана.
Тем самым доказательство теоремы Шарковского полностью завершено. Мы
переходим теперь ко второй части этой лекции, посвященной знаменитой
универсальности Фейгенбаума для бифуркаций удвоения периода.
Рассмотрим однопараметрические семейства отображений одного и того же
отрезка I в себя, определяемые семейством гладких функций ф(х; А.).
Типичным примером служит ф(х; >.)= = А.х(1- х), где ф(х; k)e/=[0, 1] при
хе[0, 1] и 0<А.<4. Отображение, отвечающее ф(х, А.), будем обозначать 71,
Предположим, что при Х = Х0 отображение 710 имеет устойчивую неподвижную
точку хХо, в которой
^Ф(хХо; *.")
<1.
Тогда в некоторой окрестности Хо все отображения 71 имеют устойчивую
неподвижную точку хх. Допустим, что при увеличении параметра X точка хх
становится все менее устойчивой и при X = Xi вообще теряет устойчивость.
В ситуации общего положения это может происходить двумя способами: либо
ф'(хХ); ki)= 1, либо ф'(хХ); ki)= - 1. Нас особенно интересует последний
случай. Дело в том, что в ситуации общего положения при X = Xi происходит
бифуркация удвоения периода, проявляющаяся в том, что при X>Xi
неподвижная точка хХ], которая раньше была устойчивой, теперь уже
становится неустойчивой. Одновременно с этим возникает периодическая
траектория периода 2, которая будет устойчивой. Характер этой бифуркации
виден на рис. 11.5, на котором изображены графики функций ф(х; А.),
ф(2)(х; >.) = = ф(ф(х; X); А.) в окрестности X = Xi. Обозначим точки,
лежащие на устойчивой периодической траектории периода 2, через xj,1",
xj,2). Будем следить теперь за поведением ф(2)(х; X) в окрестности точки
х[1}. При X = Xi производная
</2cp(2,(x; Xt)
dx2
а при X>Xi эта производная уменьшается. Пусть это
109
уменьшение происходит монотонно** и при Х = Хг производная
d2(p(2)(x; Х2) , _ _
' ' = - 1. Тогда в точности таким же образом,
dx2
как и раньше, точка х^1 * теряет устойчивость и становится
неустойчивой, а в ее окрестности образуется устойчивая периодическая
траектория периода 2 для Т\ , т. е. устойчивая периодическая траектория
периода 4 для Т\г. В окрестности этой траектории остаются неустойчивые
периодические траектории периодов 2 и 1. В порядке Шарковского это
соответствует его правому краю.
Предположим теперь, что при увеличении X возникает последовательность
значений параметра Хк, при которых происходят последовательные бифуркации
удвоения периода таким образом, что при Х>Хк и близком к Хк имеется
устойчивая периодическая траектория периода 2* для отображения Тх, в
окрестности которой имеются неустойчивые периодические траектории
периодов 2*- 1, 2*~2, ..., 2, 1. Роль этих траекторий состоит в том, что
они как бы "выталкивают" все остальные траектории на эту устойчивую
периодическую траекторию. Обозначим Xm= lim Хх. Уни-
к-* оо
версальность Фейгенбаума состоит в том, что Хк сходятся к пределу с
универсальной скоростью, не зависящей от рассматриваемого семейства
функций <р(х; ^), в том смысле, что Хк - >.00~С(ф)5_*, где 5-знаменитая
постоянная Фейгенбаума, 5 = 4,6692..., а С(ф)-постоянная, зависящая от
семейства.
** Это допущение делается только для простоты и не влияет на построение
теории.
При Х = Ха> мы имеем отображение, имеющее неустойчивые периодические
траектории всех периодов 2\ и инвариантное множество А, притягивающее к
себе большинство траекторий, начинающихся в его окрестности. Пример
такого отображения описан в лекции 4.
Универсальность Фейгенбаума имеет очень широкую область применения. Она
выполняется для однопараметрических семейств многомерных отображений, для
семейств векторных полей. Имеется много конкретных физических
экспериментов, где в результате измерений получаются данные, находящиеся
в прекрасном согласии с универсальностью Фейгенбаума. Существенно также,
что часто Хх может рассматриваться как момент появления динамики с
сильными статистическими свойствами. Более точно, при X < Х^, образы мер,
абсолютно непрерывных относительно меры Лебега, под действием динамики
сходятся к мерам, сосредоточенным на устойчивых периодических
траекториях. Наоборот, при Х>Ха, имеются значения параметра, сколь угодно
близкие к Хх, при которых образы таких мер сходятся к нетривиальным
пределам, по отношению к которым преобразование эргодично, имеет
положительную энтропию и т. п. Подчеркнем, впрочем, что эти вопросы
исследованы пока недостаточно.
Объяснение универсальности Фейгенбаума дается с помощью уже
упоминавшегося метода ренормгруппы. Пример действия этого метода мы уже
видели в предыдущей лекции. Выше мы предположили, что при изменении X от
Хк до
>.*+х производная -cp<2Wx, X) ах
х = х
(1)
монотонно убывает от
1 до -1. Здесь xj1 * есть одна из точек периодической траектории периода
