Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
2° Универсальность Фейгенбаума впервые появилась в работах
[5] Feigenbaum М. J. Quantative universality for a class of non-linear
transformations//J. of Stat. Phys.-1978.-V. 19. P. 25-52.
[6] The universal metric properties of non-linear transformations//J. of
Stat. Phys.-1979.-V. 21,-P. 669-706.
Функциональное уравнение (1) появилось также в работах
[7'] Derrida В., GervoisA., PomeauY. Universal metric properties of
bifurcations of endomorphisms//J. Phys.-1979.-V. 12.- P. 269-296.
[7"] С о 11 e t P., T г e s s e г C. Iterations d'endomorphisms et groupe
de renormalization//C. R. Acad. Sci. Paris.-1979.-V. 287.-Ser. A-
B.-P. A577-A580.
3° В настоящее время имеется много математических работ, посвященных
универсальности Фейгенбаума. Мы упомянем только некоторые из них.
[8] Collet P., EckmannJ. P., La n f о rd III О. Е. Universal properties
of maps of an interval//Comm. Math. Phys.-1980.- V. 76.-P. 211-254.
[9 ] L a n f о г d III О. E. A computer-assisted proof of the Feigenbaum
conjectures//Bull. Amer. Math. Soc.-1982.-V. 6.- P. 427-434.
[10] CampaninoM., Epstein H. On the existence of Feigenbaum's fixed
point//Comm. Math. Phys.-1981.-V. 79.- P. 261-302.
[11] Epstein H., LascouxJ. Analyticity properties of Feigenbaum
function//Comm. Math. Phys.-1981.- V. 81.-P. 437-453.
4° Неустойчивое многообразие Г(в)(ф0) было построено численно в статье
[12] ВулЕ. Б., ХанинК. М. О неустойчивой сепаратрисе неподвижной точки
Фейгенбаума//УМН.-1982.-Т. 37, №5.-
C. 173-174.
Универсальности Фейгенбаума посвящена обзорная статья
[13] ВулЕ. Б., СинайЯ. Г., ХанинК. М. Универсальность Фейгенбаума и
термодинамический формализм//УМН.-1984.-Т. 39, № з.- С.З-37.
114
5° Общей теории одномерных динамических систем посвящены следующие книги:
[14] С о 11 е t P., EckmannJ.P. Iterated Maps on the Interval as
Dynamical Systems.- Birkhauser, 1980.-248 p.
[15] ШарковскийА. H., МайстренкоЮ. JI., Романенко E. Ю. Разностные
уравнения и их приложения.-Киев: Наукова Думка, 1986.-276 с.
[16 ] d е Mel о W. One-dimensional Dynamics.- Springer-Verlag (in press).
ЛЕКЦИЯ 12
РАСТЯГИВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ
В этой лекции мы рассмотрим простейший класс отображений с сильными
статистическими свойствами. Уже на этом примере можно увидеть механизм,
показывающий, как может динамика создавать инвариантную меру,
определяющую статистику типичных траекторий. Этот механизм, как будет
видно в части V, действует и в гораздо более общей ситуации.
Предположим, что ср есть функция на R1, обладающая следующими свойствами:
аД ф eC1+Y при некотором у>0;
а2) ф'00>>-о>1;
а3) ф(х+ 1) = ф(х) + г при некотором целом г;
а4) ф(0) = 0.
Как и в лекции 10, определим отображение Т9 единичной окружности S1 на
себя посредством формулы Гф(х) = {ф(х)}, хе [0, 1); { ¦}, как всегда,
дробная часть. Условие а4) может при этом рассматриваться как способ
выбора начала координат на S1. Из а2) и а3) следует, что каждая точка х
имеет г прообразов. Таким образом, Т9 есть эндоморфизм S1. Свойство а2)
показывает, что локально 7'ф равномерно увеличивает расстояние между
близкими точками по крайней мере в Xq раз. По этой причине отображение 7Ф
называется растягивающим.
Основная теорема для растягивающих отображений. Пусть ф удовлетворяет
а3)-а4). Тогда Tv имеет инвариантную меру р, эквивалентную мере Лебега I
на S1 =М. Как эндоморфизм пространства с мерой (М, М, р) отображение Tv
является точным эндоморфизмом (см. лекцию 7), и Л(7'ф) = |1пф'(х)ф(х).
Доказательство. Для отображений, удовлетворяющих а2); а3), можно
определить разбиение состоящее из г полусегментов С"', так, что
Т9С\1]= [0, 1) и отображение [0, 1) взаимно-однозначно.
Разбиение Гф 1 ?,
115
также состоит из г элементов Г-1 С<1}. Каждый Г-1 С;1' есть объединение г
полусегментов, лежащих в разных Cf \ Тогда ^2 = ^1 v Ту 1 есть разбиение
на г2 полусегментов С'^, для которых C-^cCjJ1, TVC$2 = С I** и
отображение Tv: С-* С(г взаимно-однозначно. Действуя таким же образом и
далее, мы можем для каждого п построить разбиение ^l = ^1vTf"1^1v ... ...
v T"n + 4i, состоящее из г" элементов. Каждый его элемент есть
полусегмент, который мы обозначим С-я) (,
при этом с?с'-1?и т,с%....,=с?*;т;
более того, отображение отображает
один полусегмент на другой взаимно-однозначно. Из а2) легко теперь
следует, что "•
Возьмем хе [0, 1), не принадлежащее счетному множеству кондов всех Для
каждого п мы имеем цепочку
включений xe...C-"+j1)i сС-"1 , <=... с С-1'. Тем самым мы по-строили для
х его символическое представление xo{iu /2, ... ..., iB, /я+1, ...},
которое определяет х однозначно.
Рассмотрим произвольную полубесконечную последовательность /" = {...,
..., /_2, /-1, /0}. Подчеркнем, что в этой
последовательности нижний индекс стремится к - оо, в противоположность
полу бесконечным последовательностям, возникающим при символическом
представлении х.
Лемма 1. Для каждого i~ существует предел
р{/0|/-1, "-а, ¦•¦}= Пт ^ ¦
"-со ........
