Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
подробно в книге Арнольда [5 ], и мы не будем его здесь обсуждать.
Существует, однако, и другой класс систем, где этот метод не применим,
поскольку угол как функция параме- о тров имеет существенную особенность,
Вернемся в этой связи к отображению Чирикова (2) и рассмотрим
гиперболическую неподвижную точку О = (0, 0). Здесь k = l= 1 и r(s)(0),
Г(и)(0)-кривые, которые близки к соответствующим сепаратрисам Рис. 14.3
при малых X (рис. 14.3). Кривая
Г<8)(0) переходит в Г(и)(0) при симметрии (Z, Ф)|-*(Z, 1 -Ф). По этой
причине, естественно, исследовать гомоклиническую точку А, лежащую на
вертикальной прямой Ф= 1 /2. Мы докажем следующую теорему.
Теорема 2*\ Пусть а-угол между Г<5)(0) и Г(и)(0)
в точке А. Тогда |а|^ехр{ -const ^(^/Х)}, где \|/(г) - обратная функция к
функции f = --.
X
Исторические замечания, касающиеся этой теоремы, приводятся в конце
лекции.
*' Может быть пропущена при первом чтении.
139
Доказательство. Вначале мы обобщим ситуацию и возьмем периодическую
функцию V периода 1 такую, что
1) К(х)=К(-х);
2) V допускает аналитическое продолжение в полосу Ор = {х| |1тхКр} при
некотором р>1.
3) V имеет единственный невырожденный максимум при х = 0 и единственный
невырожденный минимум при х = + 1/2 на отрезке - 1/2<х<1/2. Типичным
примером служит функция F(x) = cos 2пх. Введем отображение с
перекручиванием Т цилиндра С, где Т( z, <p) = (z\ <р'), z' = z+y К'(ср),
9' = 9 + yz'(mod 1). Траектории T соответствуют нелинейному разностному
уравнению второго порядка
хя+1-2хя + хя_1 = у2Г(хя), (5)
если положить z" = y-1(xn -x"_i), фя = {л:я}. Точки, лежащие на
устойчивом (неустойчивом) многообразии точки (0, 0), соответствуют
решениям, для которых х"->1/2 при л-юо (х"-> -1/2 при п-* - со). Если
{х"} есть решение (5), для которого х"-> 1/2 при л-юо. то ввиду симметрии
1) - {х_я} = {хя} есть решение
(5), для которого х'-" -1/2 при л-> - оо. Если х+ = {х^}500 есть решение
(5), дтя которого Хо =0, х"+ ->1/2 при л-юо, то для решения х~ =
{хя_}?00, хя_ = - х"+ мы имеем Xq =0, х,Г -*¦ - 1 /2 при л-" - оо.
Положим Yn = у -1 (хя+ -х"+_!), Y~ = у ~1 (хя~ -х t) и покажем, что То =
У о , или, что эквивалентно, xf +x_i=0. Из (5) и из того, что К'(О)=0,
следует xf -2хо + xti=xt +x-i = 0, т. е. To=Tq. Это означает, что точка
В=(Т0, 0)еС, Yo = Уо =Уо , принадлежит Г<s>(О) и Г<и)(0), т. е. является
гомоклинической точкой.
Обозначим х" решение (5), для которого х"-> 1/2 при п-> оо, хя-" -1/2 при
л~> -оо. Линеаризуем (5) вдоль решения {х"}. Для этого возьмем xn=xn +
eun и удержим члены первого порядка по в. Мы получим разностное уравнение
Шредингера
ия+1-2ия + ия_1=у2К"(хя)ия. (6)
Потенциал - К"(х")-> - К"(1/2) при л-> + оо. Введем решения
уравнения (6), которые стремятся к 0 при л-> + оо. Легко видеть, что
касательная прямая к Г<5) (Г<и>) в точке В порождается векторами
е+=", у^К-п^)) (e~=(uo, Y-1(uo -u~i))-
Тем самым наша задача сводится к оценке угла между е+ и е~. Для того
чтобы это сделать, мы построим последовательность {v"} v0= 1, vn->0
при л-> + оо, для которой мы
покажем, что для решений u"+, un_, Uq =Uq = 1 будет
140
выполнено неравенство |и^ - Vi |<5(у), |uf- Vi|<5(y), где 5(y) = ехр{-
const• vj/(y)}- Это дает нужную оценку |а|.
Для построения v" вернемся к (5) и заменим его уравнением
x((f+ 1)у)-2х(гу) + х((г- 1)y) = Y2 У (х (fY ))• (7)
Допустим временно, что t может принимать все вещественные значения, -
oo<f<oo. Мы попытаемся решить (7) с помощью формальной теории возмущений.
Положим x(i) = Xo(f)+Y*i(0 + - + Y2mX2m(0+- и запишем левую часть
у
(7) в виде 2У:-;-x(2m)(r). Тогда формально мы получим (2/л): '
1X1 у2т d2m
=Гг[Г'(хо)+^~(ух1 + у2х3 + ...)+^~(ух1 +
+ Y2x2 + ...)2 + ...]. (8)
Эго дает последовательную систему уравнений для нахождения х":
xZ(t)=F'(x0(t)), (9.0)
x?(r)=K"(x o(0)xi(0. (9-1)
х^ (е) = V" (хо (t))x2 (t) = -xS(t), (9.2)
х;'(0=к"(хо(0)х"(0=тгЛ0- (9л)
Здесь Fn-многочлен от х0, ..., х"_1( Vм(х0) и их производных.
Рассмотрим (9.1), (9.2), ..., (9.и) более подробно. Левая
d2
часть имеет вид DY", где ?>=- - К"(х0 (г)) есть одномерный
dt
оператор Штурма-Лиувилля с потенциалом - K"(x0(f)). Здесь х0(г) есть
решение (9.0), для которого x0(f)-"l/2 при Noo и х0(г) -"-1/2 при f-"oo.
Обозначим через Н гильбертово пространство квадратично-иитегрируемых
функций по отношению к мере Лебега на прямой. Тогда D есть
самосопряженный оператор в Н. Как следует из общей теории рассеяния (см.
[4]), Н=Н0@Н1, где Н0 инвариантно относительно D, изоморфно Н и при этом
изоморфизме D переходит в оператор умножения на функцию -к2 - К"(1/2), в
то время как Н j конечномерно и DHl=Hl. Это означает, что порождается
собственными векторами D.
141
В нашем случае Нх нетривиально, поскольку D имеет собственную функцию х/,
(/), отвечающую собственному значению А. = 0. Легко показать, что других
собственных функций с тем же собственным значением нет. Поэтому для того,
чтобы уравнения (9.n), п= 1, 2, ..., могли иметь решение, необходимо,
