Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
2*. Поэтому найдется такое Хк, Хк<Хк<
<Хк+1, что -^-ф(21)(х; >.*) ах
х=х<-1'
it
= 0. Основная идея Фейгенба-
ума состоит в том, что ф<2 *(х; >.*-х) в окрестности х = х^'
выглядит асимптотически так же, как ф(21)(х; Хк) в окрестности x = xj^i с
точностью до масштабного преобразования. Если эта гипотеза верна, то
можно убедиться в том, что форма такой универсальной функции ф должна
удовлетворять функциональному уравнению (см. лекцию 4)
ф(х)=-аф(ф(а-1х)), (!)
и условиям
1) ф(-х)=ф(х);
2) Ф(0)=1.
111
Первые математические результаты, относящиеся к доказательству
существования решения этого уравнения, были получены Колле, Экманном и
Лэнфордом (см. 3°). В дальнейшем более простые доказательства были
найдены Кам-паиино, Эпштейном и др. (см. 3°). Следует, впрочем,
подчеркнуть, что в большинстве этих работ в большей или меньшей степени
используются результаты машинного счета. Недавно Д. Сулливан показал, что
в классе функций, удовлетворяющих определенным условиям аналитичности,
решение этого уравнения единственно.
Обозначим найденное решение через фо(х). В лекции 4 мы исследовали
некоторые свойства динамики 7+0. Уравнение (1) можно записать в виде
фо = /)(ф0),
где D-нелинейный оператор, стоящий в правой части (1). Этот оператор
можно линеаризовать в окрестности точки фо. Это означает, что для ф = фо
+ ф1 можно написать
/)(ф + ф1) = фо + ?ф1 +...,
где многоточие означает малые высшего порядка малости по сравнению с
\|/i. Здесь L-линейный оператор, называемый линеаризацией D. Он
несамосопряженный и имеет довольно сложный вид. Тем не менее можно
ставить вопрос о его спектре. Оказывается, что L имеет один собственный
вектор во, которому отвечает собственное значение 5>1, 5-та же самая
постоянная Фейгенбаума, и инвариантное подпространство До, в котором
норма L меньше единицы.
Мы используем сейчас эту информацию для объяснения универсальности
Фейгенбаума. Разумеется, приводимые ниже рассуждения нельзя рассматривать
как строгое математическое доказательство. Поскольку спектр L имеет
описанную структуру, через точку фо в окрестности этой точки в
функциональном пространстве функций ф можно провести одномерную кривую
Г(и)(фо) (см. рис. 11.6), называемую неустойчивым многообразием этой
точки. Она однозначно определяется тем, что Д(Г(и)(ф0)) Г(я)(фо), и в
точке фо касается вектора во-
Кроме того, в окрестности фо через фо можно провести так называемое
устойчивое подмногообразие Г(1)(ф0| коразмерности 1, определяемое тем,
что 1) /)(Г(*)(ф0)) <= Г(1)(ф0), 2) /)"ф-"фо при и-юо для любого
феГ(1)(фо), 3) Г(*'(фо) касается Но в точке фо.
Рассмотрим теперь в том же функциональном пространстве подмногообразие Г
коразмерности 1, состоящее из тех ф, у которых производная в неподвижной
точке равна - 1.
112
Предполагается, что Г близко к Г(1)(А0) и пересекает Г(и)(\|/0) в
некоторой точке феГ(,,)(\|/о)- В малой окрестности \|/о определено
обратное отображение D~l. Нетрудно понять, что D~T отвечает отображениям
7*, у которых есть
периодическая траектория периода 2", в которой производная
периода. Точки пересечения /)""Г с Г(и)(\|/о) обозначим \|/("), \|/(1) =
\|/. Если на Г(и)(\|/о) выбрать какой-либо естественный параметр
А, то точкам \|/(в) отвечает последовательность А(в). Из
свойств L легко теперь следует,
что А(в+1)/А(в)-"8_1 при л-"сс.
Допустим теперь, что мы имеем семейство функций {<р(х; А.)}, близкое в
определенном смысле к Г(в)(\|/0)- С точки зрения геометрии
функционального пространства {ср(х; А)} представляет собой кривую в этом
пространстве. Значение А* отвечает точке пресечения этой кривой с
Г(а)(фо), а значения параметра А*, где происходят последовательные
бифуркации удвоения периода, отвечают точкам пересечения кривой {фх} с
D~kT. Но поскольку D~kГ приближаются к Г(1)(\|/о) с экспоненциальной
скоростью 5~\ то этим же свойством обладает скорость сближения А* с А(r).
Это и выражает универсальность Фейгенбаума.
Заметим, что возможны и другие универсальности помимо универсальности
Фейгенбаума в однопараметрических
Рис. 11.6
ИЗ
семействах одномерных отображений. Однако универсальность Фейгенбаума,
по-видимому, единственная универсальность, отвечающая цепочке
последовательных бифуркаций.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° Теорема Шарковского впервые появилась в его статьях
[1] Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения
прямой в себя//Укр. матем. журнал.-1964.-Т. 16.- С. 61-71;
[2] О циклах и структуре непрерывного отображения//Укр. матем. журнал.-
1965.-Т. 17.- С. 104-111.
Эта теорема приобрела большую популярность после статьи
[3] Li Т. Y., Yorke J. A. Period three implies chaos//Amer. Math.
Monthly.-1975.-V. 82,-P. 985-992.
Наше изложение представляет собой обработку доказательства, приведенного
в статье
[4] Block L., G и с k е n h е i m е г J., М i s i u re w i с z М., Y о u
n g L. S. Periodic points and topological entropy of one-dimensional
maps//Lecture Notes in Math.-1980.-V. 819.- P. 18-34.
