Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
формула для а:
В работе Нейштадта
[8] НейштадтА. И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся
фазой // Прикл. мат. и мех.- Т. 48, № 2.- С. 197-204
была получена экспоненциальная оценка
Доказательство, приведенное в тексте, принадлежит И. П. Корн-фельду и мне
и ранее не публиковалось. Оно отличается от доказательства Нейштадта.
Обнаруженные при этом связи с уравнением Шредингера, возможно, имеют и
более общий интерес, и поэтому я решил привести его здесь.
Сехр{ -X|Rex|} -Y------------r(w+l)<m + 3)/2(const)m 1 =
(л?- 1)!
= Сехр{- X|Rex|} • К.
(т+ 3)/2
153
В. Ф. Лазуткин сделал несколько попыток доказать асимптотическую
формулу Филоненко-Сагдеева-Заславского,-см. его статью
[9 ] Лазуткин В. Ф. Аналитические интегралы полустандарт-ного отображения
и расщепление сепаратрис // Алгебра и Анализ.- 1989-Т. 1, вып. 2.-С. 116-
131. и его более поздние публикации на эту тему.
ЛЕКЦИЯ 15
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ И ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
И СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЛОИ
В этой лекции мы объясняем роль гомоклинических и гетероклинических точек
в проблеме появления стохастических свойств динамики. Мы будем иметь дело
с одним классом двумерных отображений с перекручиванием, но теорема,
которую мы доказываем ниже, справедлива в гораздо более общей обстановке
и, в частности, в случае многомерных диффеоморфизмов.
Как и в предыдущей лекции, С есть двумерный цилиндр, на котором выбраны
координаты (z, ф), V-периодическая С "-функция с периодом 1, имеющая один
невырожденный максимум и один невырожденный минимум в точке ф = 0, т. е.
К'(0) = 0, V" (0)>0. Мы рассматриваем отображение Т цилиндра С, заданное
формулой Т{z, ф) = (г', ф'), где
z' = z+К'(ф), ф' = ф + г'(тос11).
Стандартное отображение соответствует К(ф)=1 - cos2jnp.
Как уже было объяснено в предыдущей лекции, точка О = (0, 0) есть
гиперболическая неподвижная точка. Поэтому по теореме Адамара-Перрона
(см. также часть V) она имеет
устойчивое и неустойчивое многообразия, которые в данном случае
представляют собой одномерные кривые у<5), Y(u), выходящие из О (рис.
15.1). Допустим, что y(s), Y<u) пересекаются в точках А', А" с
координатами (z', ф'), (z", Рис. 15.1 ф"), z'>0, z"<0, и углы между
•y(s), у(") в точках А' и А" отличны от нуля, т. е. yls), у1и)
пересекаются трансверсально. Мы получаем криволинейный четырехугольник на
С, ограниченный отрезками кривых y(s), у1и> и имеющий вершины О, А', А".
Точки А', А" являются гомоклиническими. Обозначим Uc Е-окрестность y<s),
Y<u)- Мы будем исследовать свойства
154
множества таких (z, <р), что Т" (z, ф) e UE при всех п,
- оо<и<оо.
Конструкция, которая проводится ниже, требует ряда дополнительных
предположений. Читатель легко сможет ее модифицировать для более общих
случаев. Кроме того, мы опустим также несколько технических деталей.
Точки В' =Т~1А', В" =Т~1А" также являются гомоклини-ческими, и y(s), у(и)
пересекаются трансверсально в В', В" (рис. 15.2). Поскольку Т сохраняет
ориентацию, отрезки кривых
Рис. 15.2
У W, у (и) межДу А', В' и А", В" пересекаются по крайней мере еще раз.
Предположим, что в каждом случае есть только по одной такой точке
пересечения, которые мы обозначим С\ С", и в этих точках y(s), у(и) также
пересекаются трансверсально.
Мы рассматриваем траектории, которые лежат в Uz. Любая точка, движущаяся
вдоль любой из таких траекторий, подходит очень близко к О. Затем она
уходит от О и приближается к одной из гомоклинических точек А1, С' или
А", С". Случайность динамики проявляется в том, что для любой
последовательности символов А, С можно найти траекторию, которая
приближается к гомоклиническим точкам в соответствии с этой
последовательностью символов.
Обозначим -у(i?<s) и у(и), у(и) части y(s> и у(и) между А', В' и А", В"
соответственно (рис. 15.2). Возьмем Тку^\ Тку(и). Они представляют собой
гладкие кривые, пересекающие ум трансверсально и становящиеся в малой
окрестности V точки О все более параллельными у(и) по мере увеличения к
(рис. 15.3). Из этого рисунка легко видеть, что можно найти пары
криволинейных сегментов у^\ у(3и), у^\ 7зи); Уз]1 У^К у з', принадлежащих
соответственно Tk,ly^\ Tkiy ("), T k,y(f\ T~k;y<f) и почти параллельных
у{и), y(s) (рис. 15.4). Мы можем всегда предположить, что окрестность W
ограничена кривыми
155
Y^, Y^u); Пи), у?'. Значения k0, к'0 также фиксированы. Для краткости мы
предполагаем также, что к0=к'0, к1=к\.
Построим бесконечную последовательность кривых уф, уф уф, ..., уф с; W, Т
~у уф =>уф- 2 и аналогичные последовательности {уф}, {у?>}, {у^} (рис.
15.5).
156
Для дальнейшего нам понадобится криволинейный параллелограмм ПVs 1.
ограниченный у^\ у^и) и частями
Рис. 15.5
Рис. 15.6
и аналогичные параллелограммы Щ5*, Щи), Щи) (рис. 15.6). Образы 7'~
^П<1и|, T~k,ntf) также представляют собой криволинейные параллелограммы.
Их пересечение состоит из двух параллелограммов _Р'0, Q'0,_ Q'0 <= Тк°
ПУ** f) Тк' П1, РЬ <=(ГА:оП^)ПГ<:' + 1П^))П(Г-*;'П^)иГ-<:,-'П^)). Две
