Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
отрицательной кривизны. Исследование таких г. п. представляет собой
важный раздел эргодической теории, который связан с теорией автоморфных
функций, теорией чисел, квантовым хаосом и др. Здесь мы ограничимся
изложением основных свойств этих потоков и проиллюстрируем введенные выше
понятия.
Каждая компактная поверхность отрицательной кривизны строится исходя из
плоскости Лобачевского L и дискретной подгруппы Г, состоящей из
гиперболических движений плоскости L. и имеет вид Q = L/Г. Для простоты
считаем, что риманова метрика ds2 на О принадлежит классу С(r) и гауссова
кривизна, индуцированная этой метрикой, всюду отрицательна. Как обычно,
фазовое пространство М г. п. есть пучок единичных касательных векторов к
Q.
В основе нашего анализа лежит следующее свойство метрик отрицательной
кривизны. Пусть x = (q, v)eM, qeQ. Возьмем q'eQ, близкую к q. Тогда
существует единственный x' = (q', и')еМ, близкий к х и такой, что dist
(S'x, S' f tx')-*0 при /->oo, где {S'} есть г. п. и % - %{q') есть СД-
функция. Стремление к нулю происходит с экспоненциальной скоростью (рис.
16.8).
173
Множество {<7'|т(<7') = 0} есть С'^-кривая f(s'(x) на Q. Кривая у1'Чх) в
М, состоящая из единичных векторов, ортогональных к fW(x)> есть л. у. м.
точки х. Аналогично строится л. н. м. Ylu)(x)> и по общей формуле
строятся
глобальные слои Гм(х), Г(и)(х).
. V') В данном случае они называются
x-(q,v) f орициклами, в многомерном случае
у("(х) орисферами.
' Полезно также представить себе
Рис. 16.8 вид мер vrww, vtm(x). Поскольку мы
начали описание со слоев y1s)(x)> то мы построим меры vtm(x). Их
построение совершенно аналогично построению мер vrr"w, следует только /-
*¦ оо заменить на t -> - оо и наоборот.
Введем сейчас коэффициент сжатия a(s)(x), аналогичный введенному выше
коэффициенту растяжения. Возьмем малую дугу Yw(x) и ее сдвиг S'yts)(х).
Если /(•)-длина кривой, стоящей в скобках, то /(S'yts> (х)) < /(y(s) (х))
при t> 0.
Определение 4. Локальным коэффициентом сжатия a(s)(x) называется предел
lira lim ^^)b/(^-(x)) = aW } /(Yw(x))f к
l(r"(x))->0 (-.0
Если в этом определении заменить yw(x) на Yl"4x) и / на -то мы получим
определение локального коэффициента растяжения a(u)(x).
Аналогичные определения можно ввести в многомерном случае. Можно
показать, что a(s)(x), a(u)(x) строго положительны и удовлетворяют
условию Гёльдера, но слишком большой гладкости от них ожидать нельзя даже
в случае аналитических метрик. Если в двумерном случае кривизна постоянна
и равна - К, то a(s)(x) = a(u)(x) = N/^. В общем случае - a(s)(x) равен
геодезической кривизне кривой yw(x) с оснащением y1s)(x)-Вернемся теперь
к y1s)(x)- Для любого yey(s,(x) напишем
СО
формальное выражение А (у) - exp{J ats)(Sry)<#}. Ясно, что
о
00
существует ям(у'; у") = /1(у')(/1(у"))~ 1=exP{J (ocw(S'y') -
о
- a(s) (S'у "))<#}. Тогда плотность меры vr"(x) (относительно длины)
пропорциональна л(*'(у; х). Аналогично строится vy.>(x), и вся
конструкция непосредственно обобщается на и-мерные компактные
многообразия отрицательной кривизны.
174
Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны
служат основным примером так называемых потоков Аносова (см. 6°).
3. В случае г. п. на т-мерных многообразиях отрицательной кривизны dim
Г(1) (х) = dim Г(и) (х) = т - 1. Если обратиться теперь к потокам реперов
на таких многообразиях (см. начало этой лекции), то размерность фазового
пространства будет здесь значительно больше, чем 2т- 1, а размерности у.
м. и н. м. останутся без изменения. Эти многообразия получаются путем
"поднятия" у. м. и н. м. геодезических потоков в пространство реперов.
4. Двумерные рассеивающие бильярды (см. 7°). Рассмотрим область Qa R2,
ограниченную конечным числом строго вогнутых внутрь дуг, не обязательно
односвязную (см. примеры на рис. 16.9). Бильярды в таких областях
называются рассеивающи- Рис. 16.9
ми. Аналогично геодезическим потокам на поверхностях отрицательной
кривизны для почти каждой точки х = (д, и) найдется окрестность 'Ш точки
q такая, что для каждой точки q'можно построить x' = (q\ v') так, что
полутраектории точек х и х' сближаются с экспоненциальной скоростью.
Ортогональные траектории пучков таких траекторий порождают, как и в
случае г. п., локальные слои y(s,(x), у<м,(х) (рис. 16.10). Так же как и
для г. п., вводятся
локальные коэффициенты сжатия и растяжения, и с их помощью определяются
меры vrw(x), \у->(Х).
5. Аттрактор Лот. JI. н. м. были построены в работе М. Мисюревича [4] при
некоторых условиях типа неравенств на коэффициенты преобразования. Так
как оно кусочнолинейно, то л. н. м. представляют собой прямолинейные
отрезки.
6. Еще проще строятся л. н. м. для отображения Белых. Они представляют
собой вертикальные отрезки.
175
7. В случае системы Лоренца л. н. м. строятся только численно. Это
построение можно довести до уровня "машинных доказательств", но
последовательно это не было проделано. Численные результаты показывают,
