Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
является гладким в окрестности точки Тпх радиуса Сп~р, причем производные
Г-1 до третьего порядка включительно в этой окрестности не превосходят по
абсолютной величине Спр. Тогда через точку х проходит л.н.м. Y<u,(x)
класса С2, касательная плоскость к которому в точке х есть Е1"\ и тем
самым dim y<u) (х) = = dim ?•<">.
Если аналогичное условие выполнено для полутраектории {Г"х, л<0}, то
существует л. у. м. у(3) (х) с такими же свойствами.
Требования гиперболичности и условия теоремы могут быть значительно
ослаблены (неравномерная гиперболичность, см. [1], а также [2], [3]).
Подчеркнем, однако, что для построения одного из слоев у{и) (х) или y<s)
(х) требуется существование обоих подпространств Е(^ и E'fL^. Отметим
также, что описанное условие гиперболичности носит локальный характер в
том смысле, что оно относится к траектории точки.
Определение гиперболичности естественно вводится и в случае потоков.
Теорема Адамара-Перрона показывает, что подпространства Е^\ Е("}-это
касательные пространства к локальным слоям y(s) (х), Y<u) (х)- С помощью
этой теоремы их можно построить в примерах, рассмотренных в лекции 16.
Вернемся к общей ситуации лекции 16. Предположим, что мы имеем
борелевское подмножество М0сМ, инвариантное относительно кусочно-гладкого
диффеоморфизма Т, причем каждая точка хеМ0 имеет н.м. Г<и,(х), на котором
задана "т-конечная мера Vp.,^ так, что семейство мер {vr ,">} образует
инвариантное семейство (см. определение 3 лекции 16). Далее мы будем
рассматривать измеримые разбиения элементы Q (х) которых представляют
собой борелевские подмножества
178
л. н. м. ум (х), т. е. элемент Q (х) разбиения содержащий х, таков, что
Q(x)c7(u)(x).
Определение 2. Вероятностная мера ц на (М, Jt) называется гиббсовской
мерой по отношению к инвариантному семейству {vr,w} (или vr ^-
гиббсовской), если для любого описанного выше измеримого разбиения ?,
условные меры р (¦ | Q (х)) имеют вид
В статистической механике знаменатель последнего выражения называется
статистической суммой. Определение 2 имеет много общего с определением
так называемых DLR-состояний в статистической механике.
Теорема 2. Если для данного инвариантного семейства мер {vr,.,}
гиббсовская мера единственна, то она инвариантна относительно Т.
Доказательство. Пусть ?,-измеримое разбиение, для которого
Q(х)czу<и)(х)(mod0). Тогда Т~1^ обладает тем же свойством. Имеем теперь в
сипу инвариантности семейства мер Уг"
где Д-индуцированная мера на фактор-пространстве М\ ?,, т. е.
Д(5)=ц(Г_15) для любого BeJt(fy. Напомним, что Jt(Q есть о-алгебра
подмножеств, состоящих modO из элементов разбиения Последнее соотношение
показывает, что \ix{A) = \i{T~1A) также является гиббсовской мерой
относительно семейства мер {vr<-.}. В силу единственности И!=ц. Теорема 2
доказана.
Фиксируем какое-либо измеримое разбиение т|, элементы которого Сл (х) с
у(и> (х).
Теорема 3. Пусть Т имеет инвариантную меру ц, причем
М\Ь
7*
179
1) условные меры ц (• | Сп (х)) эквивалентны мере сгтм(х), где, напомним,
стум-гладкая мера на у("). индуцированная римано-вым объемом;
2) ц {у | distyW(y) (у, 5С" (у)) < а} -"0 при а -"0.
Тогда р есть vrгиббсовская мера по отношению к инвариантному семейству
мер {vr,.,}, построенному в предыдущей лекции.
Доказательство. Мы установим, что условные меры на элементах (х)
определяются формулой
J </vr<-'(x)(y)
й(Л|Сч(х))=40?М_
J rfvrw(x)(y) С,(х)
что, как нетрудно видеть, достаточно для наших целей.
Обозначим через р( ) плотность, о которой идет речь в 1), т. е.
J р(у)</стт...(у)
р(Л|С"(х))=^^---------------- .
J p(y)rfcrTo.,(y) с,ы
Рассмотрим разбиение г|" = Т~"г\, элементы которого имеют вид Т~"С\(Т"х)
= Сг]_(х). Тогда если Сп_(х)сум(х), то
J р(у)дагым(у)
ц(Л|Сч.(х)) = 4^-------------------•
S P(y)dcrTMW(y)
Сл.(х)
Поскольку diamCn_(x)->0 по мере при п-* оо, то из общих
теорем теории меры следует, что [i(A \ C\t(x)) сколь угодно
мало отличается (по мере) от o(Af) СПи(х))/ст (Сп>(х)), которое
получилось бы в случае р( у) г const на Сп>(х). Поэтому для любого А
р(Л) = р(Г"М)= J d[i J р(у)</стсЛп(у) х
М0|т," Г-'ЯПС,.
x(j P(y)doc4.(y)) <V) f ^•a(rCT|cY'>-
\сл, / М0|Л.
По определению последнее выражение равно (см. обозначения предыдущей
лекции)
Устремляя п ->оо, получаем требуемый результат. Теорема 3 доказана.
Теорема 3 показывает, что проверка того, что данная инвариантная мера
является vr "-гиббсовской, сводится к проверке условия 1) этой теоремы,
поскольку условие 2) является простым и его проверка не вызывает
трудностей.
Определение 3. Пусть дана вероятностная мера р. Если для любого
измеримого разбиения г| такого, что Сл(х) с у(и)(х), условные меры р( •
|С'л(х)) абсолютно непрерывны относительно стт" (х), то мы будем называть
меру р ст,и)-абсолютно непрерывной.
Для точки хеМ0 рассмотрим открытое подмногообразие D, гомеоморфное
открытому шару, причем D с y<u)(x). Пусть dim у<u) (х)=dim Z) = А:.
Проведем через х (г - А)-мерное открытое подмногообразие D',
