Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
186
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Наоборот, если имеют место уравнения (7.211), так что
(7'212>
тогда из полноты совокупности {?„} следует, что удовлетворяется уравнение
поля (7.202). В полной аналогии с обычной механикой можно определить
импульс, канонически сопряженный с qn(t)\
дЬ (* дХ
ддп (г)
n(x)t,n(x) dsx, (7.213)
=5
где л; (ж) определяется как импульс, канонически сопряженный с ф(ж):
= <7-214>
Гамильтониан, по определению, равен н= 2 Рп ^)qn(t) — L =
П
= 2 \ dSx:*(x, t)?n(x) ^ dV<p0(x\ t)?,n{x')—L =
Tl
= \ d3x = J d3*SV, (7-215)
где ?)? == Лф0 — X = (ф, фь л) есть плотность гамильтониана.
Гамиль-
тониан Н можно также записать в виде
Н= ^ d3x (|=|ф0_^оо)=^ d3xT00, (7.216)
где Г00 является (0, 0)-компонентой канонического тензора
энергии-им-
пульса, определяемого формулой
= ' (7.217)
Если X явно не зависит от пространственно-временных координат х, тогда в
силу уравнения движения (7.205)
дер11 дХ dX __
dT^ = фИ ( Г д дХ
dxv 1 > ** 1 V 5cpv
= ФЙ( ' д дХ
кдхх <?<pv
= фй( ' д дХ
чdxv
I -г
дуУ d(pv dx^
д2ср дХ Г дХ ц , &Х д2ср Л
дх^дх* V 9ф 45 "И дх^дхх)
ЭХ
а<р ) = °- <7'218)‘)
Проинтегрировав равенство dvT^v — 0 по всему трехмерному пространству,
получим
з
-±\d*xr0+\d*x'2i-±T»i = O. (7.219)
i=i
!) Если X явно зависит от координат х, то равенство (7.218) принимает вид
dvTt*v=— д»Х. Явная зависимость Ж от х соответствует наличию заданных
внешних полей, с которыми взаимодействует поле ф.
§ 4. Связь с теорией поля
187
Если Тщ равны нулю на больших расстояниях (что будет иметь место, если
поля обладают этим свойством), тогда второй член в (7.219) равен нулю,
так как, согласно теореме Гаусса, его можно превратить в интеграл по
бесконечно удаленной поверхности. Следовательно, мы получаем четыре
закона сохранения
А?» = 0 ((1 = 0, 1, 2, 3), (7.220)
которые утверждают, что величины ^ d3xTp0 (ц = 0, 1, 2, 3)
являются
интегралами движения. Равенство (7.220) при р = 0 соответствует
сохранению энергии, т. е. d0H = 0, а при р = 1, 2, 3 —сохранению трех
величин:
Рк = \ d3xTk0 = f d3x'^~ q/‘= [ d3xK (х) (fk (х), (7.221)
J J 5ф J
которые после симметризации имеют вид
Рк = y ^ d3x {я (х) (х) + ф(‘ (х) л(х)}. (7.222)
Величины Рк можно отождествить с тремя компонентами полного им-
пульса поля.
По аналогии с (7.215) можно определить плотность импульса поля, как Тк°.
Плотность момента количества движения поля (относительно начала
координат) естественно определить выражением
тпыа = xhT ю — xtTk0, (7.223)
так что полный момент количества движения есть Мы = d3xm,kiо- Чтобы
величина Мы являлась пространственной частью сохраняющегося тензора
момента Мру
Mpv = J d3x (хрТv0 - xv7Vo), (7.224)
должно выполняться условие
дртру р = 0, (7.225а)
^xtvp ” vp (7.2256)
ибо в этом случае ^ d3xmVuV0 сохраняется, что можно
показать так же,
как и при выводе равенства (7.220). Однако в силу
(7.2256)
дот^р = до (XpTvp — хуТw) = TViL — T(7.226)
Таким образом, Мру будет сохраняющимся тензором, если 7\IV = 7’V(1, т. е.
если тензор энергии-импульса симметричен. А симметрия последнего, вообще
говоря, не следует из определения (7.217). Однако тензор энергии-импульса
всегда можно симметризовать [42, 43], используя тот факт, что к
лагранжиану всегда можно добавить четырехмерную дивергенцию, не меняя
физического содержания теории. Таким образом, хотя плотность энергии,
например, и не определяется однозначно, полная энергия поля есть
однозначно определенная величина. Три пространственно-пространственные
(к, /)-компоненты тензора момента являются компонентами момента
количества движения системы, а три простран-
188
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
ственно-временные (0, /с)-компоненты связаны с координатами центра масс
системы [562 — 564, 652].
Для рассматриваемого поля со спином, равным 0, плотность лагранжиана при
отсутствии взаимодействия можно взять в виде
?= — у (р2ф2 — gPvdecp-dv<p) = — у (р2ф2 — cpvcpv). (7.227)
Чтобы ото выражение было допустимой лагранжевой плотностью, нужно, чтобы
оно приводило к правильному уравнению поля: (? + р2) ф = 0. Это легко
проверить:
г, д dje , д ( 2 , <92 \ /гп 1 2\
0" ^ ^ ^^ф т )?»=-<а +11 >'f'-
(7.228)
Отметим, что плотность лагранжиана является скаляром относительно
собственных преобразований Лоренца (в действительности относительно любых
преобразований Лоренца, ибо плотность квадратична по ф).
Доказательство: Действительно, при лоренцевом преобразовании х—>х' = А.х-
\-а,у—>ф' (.г') = ф(х), поэтому X' (х') = X (х). Импульс, канонически
сопряженный с ф (не путать с полным импульсом Р), есть
я(ж) = -|^- = ф0(аг). (7.229)
Соответствующий принятому лагранжиану гамильтониан
Н = ^ d3x§? = ^ d3x {я (х) ф0 (х) — X] =y ^ ^ ^Ф‘ ^Ф ^2(Р2
(7.230)
Полученное выражение является положительно определенным, что и следовало
ожидать для плотности энергии. Этим объясняется выбор знака минус в
выражении для плотности лагранжиана (7.227). Отметим, что вид
