Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
положительных мезонов с импульсами pt, ... рт и п отрицательных мезонов с
импульсами qb ... q„. Представления операторов а, а* и Ь, Ь* в
пространстве Фока являются тривиальными обобщениями представлений,
рассмотренных ранее для случая скалярного поля, и мы не будем их здесь
воспроизводить.
В теории существует наблюдаемая, соответствующая полному заряду системы,
которая представляется эрмитовым оператором
Q = e{N+-NJ) = Q* =
= e<\~(a*kak~btbk). (7.264)
+
Перестановочные соотношения Q с операторами а и Ъ суть
[<?, ак] = - еак, [<?, а?] = еа?,- (7.265а)
IQ, bk] = ebk, [^, *?]= -ebl. ' (7.2656)
Операторы полной энергии и полного импульса даются выражениями:
Н = ^ СОк (йкак + ЬкЬк) (7.266)
+
И
Р — ^ к (а^Як + ^к&к)) . (7.267)
+
или, короче,
? , , л* = §-^м«г«к+йг'м. (7.268)
+
13 С. Шчебор
194
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Введем далее операторы
<7-2Ма>
Ф2в9в>
V2 (2я)8 +
^'^=ттгЛ^ь1еЛ'' <7-269в>
w''<I)l*=^7lW!i?“ke"“'“, <7-269г)
которые удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, поскольку
k0= -J- ]/к2 + (г2. Комбинируя введенные операторы, определим операторы
(а:) = ф(+Ч^) + Ф(-Ч^) = 17щ^ J + (7.270)
поля
ф
и
Ф* (х) = [ф<+> (х) фс_) (а;)]* = -p^===r ~(b?eih-x + ake-ih-x), (7.271)
нодчиняющиеся уравнениям движения:
(? + Ц2)ф(г) = 0 (7.272а)
и
(?+ (А2)ф*(а:) = 0. (2.2726)
Необходимо отметить, что оператор ф(я) неэрмитов. Используя установленные
ранее свойства Д(±)-функций и то, что ф, ф* удовлетворяют уравнению
Клейна — Гордона, можно получить положительно- и отрицательно-частотные
части операторов ф, ф* с помощью соотношений
Ф'
(х) = ^ (х) {дфД(±) (х — х')-ф (х') — Д(±) (х — х')
д'цф (а;')} (7.273а)
и
*(±)(а;)= ^ da^(x') {д^Д(±) (х — а;')-ф* (х') — Д(±) (х — х') д'цф*
(х’)}. (7.2736)
Ф
Сравнивая (7.273) с равенствами (7.269а) и (7.2696), заключаем, что
Ф*(+) (х) = [ф(_> (я)]* (7.274а)
и
Ф*<_>(ж)= [ф(+)(я)]*. (7.2746)
Базисные векторы в конфигурационном пространстве имеют вид j #2, • . .
Хт, . . . уп) —
1 ф'(_) (xt) . .. Ф('’ (хт) Ф*(_> (yt) .. . ф*<_) (у») I 0).
(7.275)
У п\т\
§ 6. Заряженное скалярное поле
195
Если имеется х10 = . .. = хт0 = т/10 = . . . = уп0 = т, то амплитуда (хи
... хт\ уI, ... Уп[Ф) соответствует вероятности найти т положительных и п
отрицательных мезонов в момент времени т.
Операторы ф и ф* были получены комбинацией операторов а и Ъ и поэтому
перестановочные соотношения для ф и ф* с оператором полного заряда имеют
простой вид1). Ввиду равенств (7.270) и (7:265)
[<?, ф(х)] = + еф(ж), (7.276)
так что ф (х) порождает заряд е.
Доказательство: Пусть | Q') является собственным состоянием оператора
полного заряда Q с собственным значением Q'. Тогда ф(^)|<?') является
собственным состоянием Q с собственным значением Q' -j- е:
<? (Ф (*)!<?'>} = Ф(:г)<? | <?')+[<?, ф (•?)] | <?') = (Q’ + е) {ф (х) |
<?')}• (7.277)
Аналогично,
[<?, Ф*И]= ~еу*(х), (7.278)
и, следовательно, ф* (х) является оператором уничтожения заряда е:
<?Ф*(Ж)|<?') = ip* (х) <?| <?') + [<?, Ф*(аО]|<?'> = (<?'~е)ф*(Ж)|<?'>.
(7.279)
Ясно, что оператор, уничтожающий заряд е, должен быть построен из
операторов а и Ь*, как и показывает равенство (7.271). Действительно,
полный заряд системы можно уменьшить, либо уничтожая заряд -)-е, либо
добавляя заряд — е.
Перестановочные соотношения для введенных операторов легко получить,
используя выражения (7.270), (7.271) и перестановочные соотношения
(7.256) — (7.258):
А (* дзъ
|ф(.т), Ф*(*')] =-2(2Й)Г J (е-‘М*-*'> _е«« (*-*')) = *Д (x-x'),
(7.280a)
|ф*(ж), ф(я')] JhiA (x — x'), - (7.2806)
M*), Ф(ж')] = [ф*(ж), <p*(a;')]=0. (7.280b)
Наблюдаемые JV+ и 7V_ можно выразить через операторы ф(±>, ф*(±>:
7V_==.i dav (х) {ф*('’ (х) дцф<+> (х) — с^ф*<-) (ж)-ф(+> (ж)],
(7.281а)
а
N+ = i dav (x) {ф(_> (ж) д^ф*<+) (ж) — д^ф'"’ (х)-ф*(+) (я)). . (7.2816)
а
Тогда выражение для полного заряда записывается в виде
Q = e(N+-N-) (7.282а)
= — ie : ^ da^ (х) (ф* (х) д^ц> (х) — дцф* (ж) -ф (ж)):. (7.2826)
!) Оператор ф (ж)=аф(+> (а:) —)-Рф<-) (х) будет, разумеется, подчиняться
таким же перестановочным соотношениям с Q, как и оператор ф, определенный
равенством (7.270). Лоренц-ипвариаптность перестановочных соотношений для
операторов ц>(х) и ф* (х) требует, чтобы |а|2=||3|2=1 [см:, например,
равенства (7.314) и (7.324)]. Частный выбор фаз, соответствующий
равенству (7.270), обсуждается далее в этом параграфе.
13*
196
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Полный заряд Q сохраняется, так как
тш=0- <7-283>
Проверим, что выражение (7.2826) действительно приводится к виду
(7.282а), где 7У+ и N_ выражаются согласно равенству (7.281). Используя
правила (7.194), (7.195), выпишем нормальное произведение равен-
ства (7.2826):
Q = —ie ^ do^ (х) {(ф*<_) (ж)3^ф<+> (х) — 5йф*{"> (х) • ф(+> (ж)) —
— (ф<_) (х) <5^ф*(+) (х) — З^ф^’ (х) • ф*(+> (а:)) +
+ (ф**^ (ж) Зцф'-’ (х) — Зйф*<_> (ж) • ф<_> (ж)) +
+ (ф*<+>(ж)3^ф<+>(ж)-3йф*<+>(ж).ф(+>(ж))}. (7.284)
Первые два члена соответствуют е (N+ — N-). Покажем, что третий и
