Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
a?<0,©e^н,©ё%)<2,©... •
Теперь мы покажем, что квантованную теорию в только что изложенной форме
можно получить, если рассматривать величину ф (ж) как амплитуду
классического поля, подчиняющуюся уравнению поля (? + р2)ф(х) — 0, и
«квантовать» такую классическую теорию поля. Под этим мы понимаем
следующее. Поле можно рассматривать как систему с бесконечным числом
степеней свободы, причем значение амплитуды в каждой точке пространства
соответствует одной такой степени свободы. Если было бы возможно ввести
переменную, канонически сопряженную к амплитуде поля в каждой точке
пространства, то можно было бы наложить квантовые условия так же, как при
переходе от классической механики к квантовой в случае конечного числа
степеней свободы. Именно мы потребовали бы, чтобы классическая скобка
Пуассона канонических переменных переходила в умноженный па i/h
коммутатор этих переменных, которые в квантовой теории становятся
некоммутирующими операторами.
Проще всего ввести канонически сопряженные величины с помощью лагранжиана
L= ^ d3xX\ф, ф(1),
(7.200)
184 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
где X = X (ф, фц) — плотность лагранжиана (или лагранжева плотность), а
фц = 9цф- Потребуем, чтобы интеграл действия
*2
/= ^ йГг^(ф, Ф(1) ,(7.201)
*1
был стационарен при любых вариациях величин поля, при условии, что
вариации на концах П и t2 промежутка интегрирования в (7.201) равны нулю,
т. е. 6ф (f2,x) = бф ((4, х) = 0. Ниже мы увидим, что для стационарности
действия / необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись уравнение
Эйлера
дХ д дХ ^ д дХ __ ?7 900Y
дц> дх° дф0 2л dxi (5фг ’ ' *
?=1 «
Лагранжиан выбран так, чтобы уравнение Эйлера совпадало с уравнением
ноля. Сформулированный принцип действия является естественным обобщением
принципа Гамильтона обычной механики, ибо совокупность значений, которые
принимают <р и ф0, можно рассматривать как аналоги координат и скоростей
в механике частиц.
Проварьируем (7.201) по <р:
6I=ldix [cH)6(P^) + 7^)6(PkW] • (7-203)
?3
Здесь ?2 — четырехмерный объем, по которому интегрируется (7.201). Форма
?2 остается пока произвольной. Зависимость второго члена от 6ф(ж)
определяется с помощью равенства фц = б^ф1). Интегрируя второй член по
частям, находим
67 = S dix {7-204)
?2 2
где 2— поверхность, ограничивающая объем ?2, а Пц,(х) — внешняя нормаль к
этой поверхности в точке х. Принцип действия требует, чтобы Ы = 0 при
всех вариациях бф, ограниченных лишь условием бф = 0 на
2. Так как бф внутри ?2 произвольна, то требование 6/ = 0
ведет
к тому, что
ЭХ э дх Лр (х) дх^ ^фц (х)
т. е. к тому, что удовлетворяется уравнение Эйлера. При подходящем выборе
X оно совпадает с уравнением поля. Между прочим, этот
выбор не единственный. Так, добавление к лагранжевой плотности
четырехмерной дивергенции не изменяет уравнение поля.
Доказательство: Рассмотрим новую плотность лагранжиана X', полученную из
X добавлением четырехмерной дивергенции:
Х' = Х + ^-, (7.206)
где 7^ =/^(ф). Член ^ (ф) в выражении для действия по теореме
Гаусса можно преобразовать в интеграл по поверхности 2, так что его
0,
(7.205)
!) То есть бф|х = <?|хбф. —Прим. ред.
§ 4. Связь с теорией поля
185
вариация тождественно равна нулю. Утверждение остается справедливым, если
Fy, зависит не только от ф, но и от (pv, при условии, что X' не содержит
вторых производных ф. Физическое содержание лагранжианов, отличающихся
четырехмерной дивергенцией, одинаково. Однако гамильтонианы и
канонический формализм для них будут, вообще говоря, различными.
Чтобы дальше развить канонический формализм по аналогии со случаем
системы частиц, желательно иметь дело со счетным числом степеней свободы,
а не с континуумом. Для этой цели трехмерный континуум предполагают
разделенным на столь малые кубические ячейки, чтобы можно было пренебречь
изменением физических величин внутри каждого кубика. Эти ячейки можно
пронумеровать с помощью дискретной переменной. Средние значения ф и 50ф в
отдельных ячейках можно принять в качестве переменных, описывающих
систему (см., например, книгу Вентцеля [836]). С другой стороны,
действительную переменную поля ф (х) можно разложить по полной
совокупности действительных ортонормированных функций ?п(х),
удовлетворяющих условиям
^ d3xl;m{x)ln(x) = 6mn, (7.207а)
2Ux)Ux,HS<34x-*'), (7-2076)
П
т. е. написать г)
Ф (ж) = 2 Чп (*) tn (х), qn (t) = ^ d3xtn (х) Ф (а:), (7.208а)
П
Фо (я) = 2 Яп if) In (х), qn (t) = [ dfxln (x) фо (x). (7.2086).
V
П
Покажем, что уравнение Эйлера, справедливое при каждом х, можно
заменить счетной совокупностью уравнений относительно qn и qn. Заметим,
что
-f??- ^ d3x д^- -1
dqn J V dqn dyh dqn J
h— 1
(7-209)
h=\
Аналогично,
— = \ d3x-d^-^= [ d3x~-t,n (x), (7.210)
dqn J dtp dqn J дф
так что если удовлетворяется уравнение (7.202), то
^-1- —= 0 (" = 0’ 2’ •••)• (7’211>
Чп М dqn
!) Точкой над буквой, как обычно, обозначается дифференцирование по вр<-
мени.—Прим. ред.
