Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
образующих рассматриваемую систему: их спина, массы, трансформационных
свойств амплитуд и типа статистики (Бозе — Эйнштейна). Теперь мы покажем,
что этот формализм вторичного квантования эквивалентен определенной
процедуре квантования классической с-числовой амплитуды поля, которая
подчиняется уравнению Клейна — Гордона.
Наши знания по опыту квантования механических систем материальных точек
дают возможность предполагать, что для установления упомянутой
эквивалентности нужно найти описание системы с помощью канонических
переменных я (х, t) и cp(x, t), перестановочные соотношения для которых
должны иметь вид
Последние соотношения будут для системы с бесконечным числом степеней
свободы, какой является поле, аналогом перестановочных соотношений [qr,
ps] = t/i6rs.
Отметим, что если определить оператор
то одновременною перестановочные соотношения для я (я) и ср (х) имеют вид
6-функции, т. е.
Таким образом, в некотором смысле, который мы уточним позднее, операторы
я (х) и ср (х) являются сопряженными величинами. Попытаемся выразить Н
через я и <р. Для этого заметим, что можно получить выражения для
операторов ак и ак через я и ср, если обратить равенства (7.137) и
(7.183). Например, равенство (7.183) для я (я) можно переписать в виде
[я(х, i), cp(x', t)] = — Пб(3)(х — х').
[я {х), ср (г')] хо=.л' = [ф (х), ср (х')\ Х,=Х0 =
+ 00
— СО
= —16(3> (х — х').
(7.184)
,-nok.vo __ a^kgl(°kJCOj git - х
(7.185)
откуда
^А^с1зхп(х)е-*х. (7.186)
Аналогично, из равенства (7.137) следует
^ d3X(p (х) e~ik' , (7.187)
<82
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
так ЧТО
'“7Щ- 5 <г’”+"’фМ + -уЩЩ J (7.188а)
а1~тт? $ iVe‘"''W)-i7fbr 5 <«««>
Подставим эти выражения в Н — ^ dQ (к) a?akcok и заметим, что в
равенствах (7.188а) и (7.1886) времена х0 и ха произвольны. Тогда,
полагая для простоты х0 = х'0, получим
Н= 2(^~Я)з ^ ^ d3xe~ik xq (х)- ^ d3x'eik’x'q (х') +
+ ^ d3k ^ d3xe~ik'xu(x) ^ d3x'eik-x'n(x') -f Нс, (7.189)
где Нс соответствует перекрестным по jt и ср членам [см. ниже равенство
(7.192)]. Поскольку cok = k2-fp2, то
(k2 -f Р2) jj d3xe~ik'xq> (х) = ^ d3x {(р2 — у2) e~ik’x} ф (х),
(7.190а)
= jj d3xe~ik'x (р2 — у2) ф (х). (7.1906)
Интегрирование по частям можно оправдать тем, что переход от равенства
(7.190а) к (7.1906) справедлив, если рассматривать матричные элементы от
этих операторных равенств между произвольными нормируемыми векторами IT)
и |Ф). Интегрируя по к, получаем
Н =
j ^ сРа:{ф(:г)(р2 — у2) ф (z) 4-л2 (х)} + #с, (7.191)
где
Не = ^ d3kcok ^ d3x \^d3x'e~ih'<-x~x’'> [(f (х), л(х')]
2 (2я)з i_
2
J й3Ыok. (7.192)
Таким образом, член Нс есть бесконечное с-число, которое при больших к
ведет себя, как ^ k3dk. Его происхождение связано с записью гамильтониана
в виде (7.191); когда мы разбиваем ср и я на операторы рождения и
уничтожения (ф(±) и д0ф(±)), то в Н — Нс появляются операторы рождения,
стоящие правее операторов уничтожения. Поэтому при действии на состояние
без частиц Н~НС дает не нуль, а энергию, равную
+ */г ^ d3k(pk. Член Нс переопределяет энергию так, что состоянию
без частиц приписывается энергия, равная нулю. По-другому можно написать:
II — ~ \ d3xN {л2 (х) -f ф (х) (р2 — V2) ф (х)}, (7.193)
где действие оператора N, по определению, таково, что он приводит
произведение операторов рождения и уничтожения к термальной форме», в
которой все операторы рождения стоят слева от всех операторов
уничтожения. При этом предполагается, что перегруппировка производится
так, как будто бы все коммутаторы равны нулю.
§ 4. Связь с теорией поля
183
Так
N (фм (у) ф<+> (ж)) = N (ф(+) (х) ф(-’ (у)) = ф(_) (у) ф(+> (ж).
(7.194)
По определению, для нормального произведения операторов N имеет место
распределительный закон, т. е.
N [ф(*> (ж) {ф<+) (у) + фм т = JV (ф(+> (X) ф<+) (у)) + ТЕ (Ф<*> (х) ф(->
(г)). (7.195)
Иногда нормальное произведение обозначают также двоеточием; например,
вместо равенства (7.193) можно написать
Н = ^ '? (л2 (х) + Уф (х) • Уф (х) + р2ф2 (ж)):.
(7.196)
Здесь мы проинтегрировали по частям член У2ф в равенстве (7.193).
Аналогичным образом можно выразить через я (ж) иф(ж) оператор полного
импульса-
Р = у^ d3x : л (х) Уф (х) + Уф (х)-я (ж):. (7.197)
Отметим, что разность между оператором Р в нормальной форме и без
нее является с-числом, равным г/2 ^ d3kк, и что этот член равен нулю
из соображений симметрии.
Описание системы свободных частиц с помощью вторичного квантования в
шредингеровской картине характеризуется гамильтонианом
^ ~ \ 5 ^Х ' я2 ^ ^х)’ (х) ^ ^2(Р2 (х)(7.198)
где я(х) = я(х, 0) и ф(х) = ф(х, 0) —операторы поля в шредингеровской
картине (мы опять приняли, что шредингеровская и гейзенберговская картины
совпадают при t = 0). Эти операторы удовлетворяют каноническим
перестановочным соотношениям
[ф (х), я(х')] = ?6® (х — х'). (7.199)
Уравнение Шредингера, определяющее развитие системы во времени, есть idt
| У (?)} = И | гЕ (г)), где j Y©} — вектор в пространстве
