Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности а'. Выберем поэтому в качестве а’ плоскость х0 = х0. Тогда
можно вычислить F, если подставить вместо /1+) и А|+> их фурье-
разложения. Таким образом, при
/(+> (х)= J e-ik-*7(t) (Щ (7.83)
и с помощью (7.75а) находим
F = fw(x). (7.84)
Если теперь выбрать в качестве о' поверхность о, на которой заданы
начальные условия, то получим (7.81). Если, в частности, /<+) (х) = А(+)
(х — ж'), тогда равенство (7.81) принимает вид
А(+) (х — х’)
? Г дД<+> (х—-х") *(+>, // д(+) / ,/ч 5Д(+> (ж"— х') )
= ^ da*1 (х ) | -Ц >- А<+) (х - ж ) - А( > (ж - ж )------------^-----
(7.85)
Аналогичные выражения справедливы для решений Клейна — Гордона с
отрицательной энергией, например
/(_) (х) = ^ do11 (ж') {0дЛм (ж — х') ? /<_) (ж') — А**' (ж — ж')
(х')}. (7.86)
о
Отметим, кстати, что поскольку решения уравнения Клейна — Гордона с
положительной энергией ортогональны решениям с отрицательной
§ 3. Конфигурационное пространство
169
энергией, то
J d(х') Д<±> (х - (ж') = 0, (7.87)
а
так что Л(+> действует как оператор проектирования, выделяющий решения с
положительной энергией, а Д'"’ —как опердтор проектирования для рвений с
отрицательными энергиями.
Оператор числа частиц в момент х0, N (х0), выражается через операторы
следующим образом:
N Ы = i \ d3s{q>«-> -~Яо~1 W ' (7‘88)
Это выражение можно обобщить на случай произвольной пространственно-
подобной поверхности:
N (a) -i ^ do» (х) {ф'-> (х) ^ ‘ (7’89)
а
Так как ф(±>(а;) подчиняются уравнению Клейна — Гордона, то б Л" (<т)/6сг
(х) = 0, так что оператор N (а) не зависит от поверхности а и постоянен
во времени. Поэтому вместо N (х0) будем писать просто N. Прямой
подстановкой равенств (7.70) и (7.72) в (7.88) можно проверить,
что последнее равенство сводится к выражению ^ dQ (к) a*Lak = N. Вакуум
10) можно теперь характеризовать равенством
ф(+> (х) 10) = 0 при всех х. (7.9С)
Состояние ф(_)(ж)|0) есть одночастичное состояние. Это ясно из
выражения фЬ) через а%, а можно проверить и непосредственно
в конфигура-
ционном пространстве, если использовать перестановочные соотношения для N
и ф('':
|ЛС ф<'>(ж)1 =
= i ^ йоцДж'^ф'-Чж') ф(“Чж)] —^^г-~[ф(+)(а;')> ф‘_> (ж))} =
- 5 ^ (*') {Ф«-> (*') Д(+> (*' - *)} =
J do» (х') | дл< gJ-iT ~ Ф("} (ж') - Д(^ (х - х') =
О
= Фм(я). . (7.91)
Аналогично.
[N, Ф<+>(^)] = -ф(+)(^)- (7.92)
Поскольку состояние без частиц есть собственное состояние N с собственным
значением 0, то
ЛНр(-} {х) | 0) = |7V, ф‘-> (ж)] | 0) = Ф(-> (ж) | 0). (7.93)
Вообще вектор
I хи ж2, ... Хп) = (к!)-1/2ф<-> _ _• ф(-) (Жп) I 0) (7.94)
есть собственный вектор Лг с собственным значением п и является «-
частичным вектором базиса. Далее, «-частичная амплитуда вектора |Ф)
170
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
в пространстве Фока
Ф(гг)(жь ... хп) — (н!)-1^ (01 ср<+) (Ж)) ... ср(+) (хп) 10) (7.95)
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона по каждой из координат (П; -г
Ц2) Ф(гг> (же х2, ... хп) =
= (гг!)-1/2(0|(р<+)(а:1) . . . (?г + |г2)ф<+)(а;г) . . . ф<+) (хп) | Ф) =
0
(i = l, 2,...), (7.96)
поскольку ф<+) (хг) подчиняется этому же уравнению. Кроме того, Ф<п> (xi,
Xi, ... хп) во временной зависимости от координат х10, х20, .. . хп0
содержит только положительные частоты и симметрична при перестановках
координат частиц. Эта функция, таким образом, является симметризованным
произведением решений уравнения Клейна — Гордона с положительной
энергией. Именно такой результат мы могли бы ожидать на основании
рассмотрения в начале настоящей главы.
Действительно, используя явный вид функции преобразования (а'ь хг, ...
хп\щ, п-l, ... п; ...), из равенства (7.6) легко видеть, что амплитуда в
пространстве Фока Ф(Л)(Я1, х2 ... хп) = {хи х2, ... х„[ф) =
= 2 (*1, х2, ... |«1, П2, ... Tii ...)(«!, пъ ... пг ... )Ф)
(7.97)
-(п. | 2 п.=п}
‘ i ‘
является суммой симметризованных произведений одночастичных функций с
положительной энергией. Произвольный гейзенберговский вектор состояния
можно разложить по базисным векторам в пространстве Фока
!ф)=ф‘®>)0)+1 \ daв (х) ( -Ф-Т’ И._ф<-> (Х) _д_Л ф<1> (g) [ 0) +
J \ дх^ дх^ У
О
-f ? • - + (i)n do»' (х4) ... ^ da^n (Xn)
X
X П ((**) -V) фШ> (**> • ? • *п) 10> + • • • (7-98)
, х dx^i dx.i х
г=1 г г
Компонента Ф<п) (xt, . . . хп) в пространстве Фока при х10 = х20 = • • •
= хп0 физически интерпретируется как амплитуда вероятности найти п частиц
в момент х0 = х10 — ... = хп0. Но по причинам, уже обсуждавшимся в теории
одной частицы Клейна — Гордона, Ф1Ю (хи .. . хп) не является амплитудой
вероятности найти частицы в точках х4, . .. хп в момент времени х°. Чтобы
ответить на вопрос относительно вероятности найти частицы в определенных
положениях, мы на основании наших прежних исследований оператора
положения и локализованных волновых функций свободной частицы Клейна —
Гордона введем следующий оператор:
ф1(?)== 5 {ко)Ще*-«ан? (7.99)
h0>0 V ’
Если |ФХ) соответствует состоянию одной частицы с импульсом к, т. е. |
Ф1) = | к) = | 0), тогда матричный элемент
