Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через |к) одночастичное состояние с импульсом к и энергией к0 =
ю(к). Оно нормировано инвариантным образом:
<к' | к) = &06{3> (к — к'). (7.12)
В общем случае состояние п частиц с импульсами kt, ... к„
и энергиями fo(kt), ... со(кп) обозначим посредством
|к4, к2, ... к„). Это
состояние удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности и нор-
§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю 159
мировки;
(kT> k2 . . . km | kj, . . ., kn) — $nm ki(fi (kj kai). . . knob (kn
kan),
(7*13)
где суммирование проводится по всем перестановкам индексов {ai, a2, .. .
an). Все множество таких состояний образует полную систему, причем
условие полноты имеет вид
/ = | 0) (01 + ^ | к) (к | + ... -j-
к^т- " (7-,4)
Для доказательства этого соотношения покажем, что определенный выше
единичный оператор, действуя на любое состояние |k',k', ... k^), дает то
же состояние.
. Доказательство: Из соотношений (7.13) очевидно
| kj, ... km) =
= 5 5Д~1к» •••кт)(к1, ...кт|к;, ...,кт) = |к;, ...кт). (7.15)
Определим теперь операторы рождения и уничтожения ак и ак с помощью
соотношений
а(к) | к) = ак | к) = | 0), (7.16а)
а* (к) 10) = ак | 0) = | к); |аК]* = а? (7.166)
н в общем случае
| к(, к2, ... к,0 = ~г== а* (кД а* (к2). . . a* (kn) | 0). (7.17)
у п\
Состояние вакуума обладает еще свойством
ak|0) = 0 для всех к. (7-18)
Симметричность состояния | ki, к2, ... к„) требует, чтобы оператор а*(к;)
коммутировал с a* (ку) для всех кг и ку, следовательно,
К, ам=0. (7.19)
Если взять сопряженное равенство, то получим
[«к, ак']=0- (7.20)
Это соотношение выражает свойство симметричности сопряженных векторов:
(klt k2, . . ., k„j=—L=-(0|akl . . . akn. (7.21)
У nl
Из нормировки одночастичных состояний, согласно равенству (7.12),
вытекает
(к' | к> = <0 j ak.ai | 0) = (0 | [ak-, aj] | 0) = k06® (k—k'),
(7.22)
так что если потребовать, чтобы коммутатор а и а* был с-числом, тогда
|ak,aM = ftb6ffl,(k-k'). (7.23)
160
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Можно проверить, что условия ортонормированности (7.13) действительно
удовлетворяются при таких перестановочных соотношениях.
Оператор числа частиц с импульсами в интервале Л между 1 и 1 Л1 есть
п(А) = ^ J~a*(k)a (k)> (7.24)
д
ибо при действии на состояние |kj, ... k„) этот оператор дает то же
состояние, причем соответствующее собственное значение равно числу частиц
с импульсами, лежащими в интервале Д.
Доказательство: Коммутации ak, ak и п (А) равны
\п (A), ak] = — ak6 (k CZ А), (7.25а)
[л(Д), a?] = aJ6(kc=A), (7.256)
где 6(kCZA) равняется -[--1, если к лежит в интервале А, и нулю в
противном случае. Полученные соотношения позволяют проворить
справедливость интерпретации оператора н (А). В качестве примера
рассмотрим двухчастичное состояние
I ко кг) = ak!«k21 В). (7.2В)
Используя перестановочные соотношения (7.23), находим
ft (А) «к."к,. 1 0) — [/г (А), 4,] at | «} + < [тг (A), at] j 0) +«и (А)
| 0) -
= [б (kt cz: А) + 6(к2с А)КщУ 0), (7.27)
поскольку п (А) 0) = 0. Следовательно, собственное значение оператора п
(А) для двухчастичного состояния есть 2, 1 или 0, в зависимости от того,
лежат ли оба к) и к2 в А, только ki или к2 (но но оба) лежат
в А или
ни к(, ни к2 не лежат в А. Оператор полного числа
частиц можно
определить как
7V = ^ ~ а* (к) а (к). (7.28)
Его коммутации с а и а* суть
[TV, ак] = — ак, (7.29а)
[N, at] =-[-(& (7.296)
так что
iV| 0) = 0, (7.30а)
N | кь к2, ... к„) = тг | к,, к2, ... к,,}. (7.306)
Поскольку частицы считаются свободными и но взаимодействующими друг с
другом, то полная энергия системы равна сумме энергий отдельных частиц, а
полный импульс — сумме импульсов частиц. Поэтому можно написать выражение
для оператора полной энергии, умножая оператор числа частиц с импульсом
k, akak> на энергию сок частицы
в этом состоянии и суммируя но всем состояниям^ ^ dQk).
Следовательно, оператор энергии
Н
= ^ш(кКак (7.31)
§ 1, Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю
161
и обладает следующим свойством:
П
Я|к„к2, ... к„)= 2 ® (М | кь . . . к„). (7.32)
3=1
Аналогично, оператор полного импульса равен
P“S vka?fc
и
п
Р | кь к2, ... кп) = 2 кг | к,, ... к„)
г= 1
Отметим, что собственное значение энергии для вакуума равно нулю, так что
вакуум есть состояние с наинизшей энергией. Вакуум является также
состоянием с нулевым импульсом. Любое другое состояние характеризуется
положительной полной энергией. Коммутации Н и Р с ак и ак равны
[Я, ak] = — cokak, [Н, ak] = cokak (7.35)
и
[Р, ak] = - kakt [Р, aj] = kа*к. (7.36)
Из соотношений (7.35) следует, что если |Е) есть собственное состояние
оператора Н с собственным значением Е, тогда ак [ Е) есть собственное
состояние Н с энергией Е — сок.
Доказательство:
Нак | Е) = akH \ Е) + [Я, ak]| Е) = (Е — сок) ак | Е). (7.37)
Аналогично проверяется, что ак\Е) есть состояние с энергией Е-\-а>к.
Также можно проверить, что если |Р') есть собственное состояние
оператора полного импульса с собственным значением Р', тогда
