Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
описать вектором
kl5 k2, ... k„) = Ur | k1; k2, ... k„) = S {j k4) j k2) ... k„}>, (7.1)
где Up — произвольная транспозиция индексов частиц, а S — еимметрп-затор.
Чтобы получить описание рассматриваемой системы и методе вторичного
квантования, можно действовать в полной аналогии с нерелятивистской
теорией. В качестве набора одночастичных состояний {gi(x)} выберем
совокупность решений уравнения Клейна — Гордона с положительной энергией,
так как именно этим состояниям соответствуют физически реализуемые
состояния релятивистской частицы со спином, равным 0. Из соображений
релятивистской ковариантности временная координата х0
§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю
157
включена в gj,(x). В частности, примем, что индекс X определяет энергию и
импульс частицы, так что
Ыя) = 0|к, ю(к)) = уЩ^з е~1к'Х- (7-2)
Эти функции являются собственными функциями непрерывного спектра и потому
ненормируемы. С математической точки зрения удобнее оперировать с
дискретным набором нормируемых функций. Это диктуется также физическим
содержанием встречающихся в действительности задач. Например, начальные
состояния частиц в опытах по рассеянию нужно описывать с помощью волновых
пакетов, поскольку известно, что частицы локализованы в конечной области
пространства. Введем поэтому полный набор {/«(я)} нормируемых решений
уравнения Клейна — Гордона с положительной энергией, которые имеют вид
волнового пакета:
(?+Ц2)/а (*) = 0, и (X) = , \ dm (к) б (Л* - ц*) e~ik'xfa (к), (7.3)
у I (2я)* J
причем (fa, fa) < °°. Примем далее, что при скалярном произведении,
определяемом формулой (3.24); эти решения попарно ортогональны
(fa, f(i) = i ^ da»? (х) fa (х) \/р (х) = 6ар, (7.4)
что справедливо для всех времен, если ортогональность имеет место в
какой-либо момент времени. В предельном случае плоских волн а—>-к, |3-
>к'. бар-> &06(3,(к — к'). Условие полноты имеет вид
^fa(x)fa(x')=^{x\a)(a\x') = I~3 ^ < ,(<<> Л'- (7.5)
a a h0> О
(к0 = и (к) = у к2 -р р.2,).
Состояние п частиц опять можно характеризовать числами заполнения tii,
пг, . . ., которые определяют числа частиц с квантовыми числами а', а",
... . Функция преобразования от пространства чисел заполнения к
конфигурационному пространству выражается формулой
(Xi, х2, ... хп; п\щ, пъ ...)= &(/«iОо)-• •/««(**))•
? (7.(5)
Операторы рождения и уничтожения ар%. и ар, которые увеличивают и
соответственно уменьшают на единицу число частиц в состоянии (3, снова
можно определить при помощи равенств
ар] . . ., пр, ...) = ]/ яр! .. ., кр— 1, . . .) (7.7а)
?$]..., пр, у нр 1 | „ ., п.р + 1, . ..). (7.76)
Операторы а, а удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
\аа, ар] == 6ар (7.8а)
и
•К,ар] = [а?,вз] = 0. (7.86)
158
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Оператор полного числа частиц есть 2 аааа- Его собственные значения
а
суть целые положительные числа и нуль. Введем теперь операторы
Ф<+> (*) = 2 /а (х) аа (7.9а>
а
И
Ф(_) (х) = 2 7а (х) — [ф(+> (ж)]*. (7.96)'
а
которые уже не зависят от базиса одночастичных функций {/а}, выбранного
вначале для определения пространства чисел заполнения. В силу
перестановочных соотношений (7.8) для операторов а перестановочные
соотношения для операторов фс+>, ф(~’ имеют вид
[ф(±>(х), ф(±>(х')] =0, (7.10а)
[ф(+>(х),ф'->(х')] = 2/“(а:)7«(а:') = 2(4)-з J т?е-Щх-х">- (7-10б>
a Ьо>0
Следует отметить, что правая часть этих соотношений уже не является 6-
функцией даже при х0 = х', так как набор одночастичных состояний {/„}
включает лишь положительно-частотные решения уравнения Клейна — Гордона.
Можно было бы получить представление для введенных операторов и, таким
образом, завершить рассмотрение в пространстве Фока. Поступим, однако,
несколько иначе.
Интуитивно кажется очевидным, что подразумевается под состоянием без
частиц, одночастичным и вообще w-частичным состоянием. Одну скалярную
частицу мы себе представляем как материальный объект с массой р. и
снином, равным 0, обладающий тем свойством, что события, вызываемые им,
локализованы в пространстве. Поэтому для отбора одночастичных состояний
можно использовать следующий мысленный эксперимент [347]. Возьмем два
счетчика Гейгера, находящиеся на расстоянии d друг от друга и соединенные
на совпадения с разрешающим временем bt < d/c. Рассмотрим все подобные
устройства с любыми положениями, ориентациями и скоростями, а также со
всеми d, большими некоторого dMira-Расстояние ймин произвольно, и мы
выберем его сколь возможно малым. Одночастичными будут те состояния,
которые дадут отрицательный результат во всех экспериментах с описанными
устройствами. Аналогично, состояние без частиц можно выделить с помощью
эксперимента с одиночными счетчиками, а многочастичные состояния — с
помощью более сложных устройств с совпадениями. Введем векторы,
соответствующие этим состояниям. Обозначим символом |0) состояние без
частиц, или состояние вакуума, которое нормировано так, что
(0|0) = 1. (7.11)
