Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
относительно ф; (х, ?) самосогласованным образом. Подробное и очень ясное
толкование этих уравнений читатель может найти в работе Слэтера [733].
Существует важная система, для которой уравнения Хартри —Фока можно
решить точно для вектора основного состояния. Эта система состоит из
электронов, которые движутся в ящике объема У, в котором существует также
однородный фон положительных зарядов с плотностью + ега/У. Проверим, что
в данной задаче решения ф; (х, ?) являются плоскими волнами. (Сначала
рассмотрим случай, когда имеется п+. электронов со спином, направленным
вверх, и электронов со спином, направленным вниз, а затем положим п+ =
/г_ = /г/2.) Мы примем, что фазовое пространство для частиц с обоими
направлениями спина заполнено сферически симметрично до поверхности
Ферми, которая характеризуется импульсом /г;.+ для частиц со спином,
направленным вверх, и импульсом kF_ для частиц со спином, направленным
вниз:
Y^k3F± V = п± (2яЪ)3 (6.165)
(в дальнейшем положим % = 1). По предположению, волновые функции имеют
вид
фк(х, ?) = 7feik'x{p((§}- (6-166)
где ki = rii(2n/L), nt — 0, ± 1, ±2, ... и а, Р —обычные спиновые
функции, причем а соответствует спину, направленному вверх, а Р —спину,
направленному вниз. Матрица плотности для электронов со спином,
направленным вверх, есть
QK' (х, х') = г 2 е-*-<*-*')а(?)а(П->
|к|<к^+
hF+ 2л +1
—> (2^)3 \ к2 dk ^ <7ф IJ dp, W 'х~х'1 ^ а (?) а (?') =
о о -i
п, s sinftp.r — кт,, г cos к„ , —
К±-{к^гу>--------------?Ь)а(?)а(0, (6.167а)
= ^<?(ц+) а (?)«(?'), (6-1676)
где г = |х —х'|, ц± = kF±r, а /г+ — число электронов со спином,
направленным вверх. Функция Q определяется равенствами (6.167а) и
(6.1676). Аналогично, матрица плотности для электронов со спином,
направленным вниз, есть
ец.(х, x') = ^^(ri-)P(S)P(S'). ' (6.168)
Отметим, что (?(ц)=1 при ц = 0, т. е. при г—>0, так что
плотность
заряда электронов в объеме V однородна.
Рассмотрим теперь электрон в состоянии фДх, ?), которое
соответствует импульсу к и спину, направленному вверх.
Обменный член
§ 11. Метод Хартри — Фока.
155
в уравнениях Фока становится равным
(6.169)
так как в силу ортогональности состояний а и {J только Q+ дает вклад. По
?' мы просуммировали. Заменяя переменную интегрирования х' на х —х',
обменный член можно переписать следующим образом:
где a± — k/kF±. Итак, плоская волна удовлетворяет уравнению Фока.
Поскольку члены, описывающие взаимодействие с фоном положительных
зарядов, сокращаются с членами, описывающими кулоновское взаимодействие
электронов, то уравнение, которому удовлетворяет фь, имеет вид
Полная энергия {Н) для случая п+ = п- = п/2, kF± = kF вычисляется без
труда, так как
а обменная энергия электронов со спином, направленным вверх, есть
Вся обменная энергия в два раза больше. 'Следовательно, полная энергия
основного состояния дается выражением
Если рассматривать валентные электроны в металле как квазисвободные и
описывать их как свободные электроны, которые движутся сквозь
положительный фон, взаимодействуя дру?' с другом через кулоновское поле,
тогда электронные теплоемкости, вычисленные из формулы (6.176), плохо
согласуются с экспериментом. Несколько более тщательное рассмотрение
корреляционной энергии [311, 312] улучшает согласие теорий « опытом.
(е2^ ^ dsr Q(kr±ll e-* ^y=eik-*a(g)- (6.170)
Интеграл в равенстве (6.170) можно вычислить и получить
СО
СО
? s мsin a+T1 = IT {* + Vr ln 11} ’ (6Л71)
о
Параметр ек определяется выражением
(6.174)
ОО
- 2ae2V у -J dt|T] | Q (ц) |2
F о
-~neW • (6.175)
(6.176)
ГЛАВА 7
Релятивистские методы в пространстве Фока
Формализм в пространство Фока, который был в общих чертах изложен в
предыдущей главе для нерелятивистского случая, можно без труда обобщить,
чтобы описать совокупность свободных релятивистских частиц. И снова мы
обнаружим, что в формализме вторичного квантования с пространственно-
временным описанием связаны операторы «поля», которые подчиняются
определенным перестановочным соотношениям и удовлетворяют уравнениям
поля. В § 2 мы увидим, как релятивистские законы преобразования амплитуд
частиц определяют трансформационные свойства операторов поля. Затем будет
изложена эквивалентность формализма вторичного квантования для частиц со
спином, равным 0, и формализма «квантования» поля Клейна —Гордона. Глава
заканчивается распространением методов вторичного квантования и теории
поля на случай заряженных частиц со спином, равным 0.
§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю
Рассмотрим систему п свободных нейтральных частиц со спином, равным 0, и
массой р. При отсутствии взаимодействия состояние такой системы может
быть определено импульсами kl5 . . ., kn и энергиями частиц ai(kj), ...
co(k„), со (к) = У к2 -р р2.
Хоровм известно, что совокупность тождественных частиц с целым спином
описывается вектором состояния, который должен быть симметричным
относительно перестановок частиц. Следовательно, нашу систему можно
