Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
соотношений (7.23) в сепарабельном гильбертовом пространстве. Именно это
представление в пространстве Фока мы и использовали. Оно получается, если
допустить существование состояния без частиц. Вообще говоря, соотношение
як|0) = 0при N —>? со уже не является следствием перестановочных
соотношений, и возможно существование многих неэквивалентных
представлений.
§ 2. Лоренц-инвариантность
Для обсуждения лоренцевой ковариантности вторично квантованной теории
удобно ввести релятивистские обозначения. Если раньше базисные векторы мы
писали в виде |к1; к2, ... к„), то теперь мы будем
г) Символом Ко обычно обозначают мощность счетного множества. Мощность
несчетного множества (континуума) далее обозначена через —Прим. ред.
2) Гильбертово пространство, которое натянуто на несчетный базис,
называется несепарабельным гильбертовым пространством, в отличие от
сепарабельного гильбертова пространства, натянутого на счетный базис.
Гильбертово пространство обычной квантовой механики сепарабельно.
11*
164
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
обозначать их через \ки к2, ... кп). В этих обозначениях энергия i-й
частицы, k0i, должна считаться положительной и равной -ф-(к?-f-р,2)1© как
это и подразумевалось в наших прежних обозначениях. Аналогично, мы будем
писать пй = а (к) вместо пк.
Как мы видели, в шредингеровской картине состояние системы определяется с
помощью результатов возможных измерений физических величин в момент
времени t. Такое описание выделяет некоторую лорен-цеву систему координат
и потому нековариантно. С другой стороны, в гейзенберговской картине
состояние не изменяется со временем. Поэтому для обсуждения
релятивистской инвариантности гейзенберговская картина обладает
бесспорными преимуществами.
Рассмотрим совокупность свободных частиц, описываемых гейзенберговским
вектором j Ф). Амплитуды (0 | Ф), (к{ \ Ф), . . ., (Ад, k2l . . . ки |Ф)
и т. д. являются амплитудами вероятности найти в любое время
соответственно 0 частиц, одну частицу с 4-импульсом /сь ..., п частиц с
импульсами ки к2, ... кп и т. д. При неоднородном преобразовании Лоренца
{а, А) вектор j Ф) -> U (а, А)| Ф), где [/—унитарный или анти-унитарный
оператор, который теперь должен быть определен в пространстве сЖа) © Ж(2)
© • • • © © .... В гл. 3 мы видели, что при соб-
ственном ортохронном преобразовании Лоренца одночастичная амплитуда
преобразуется по правилу
Фц> (к) —> е^-аф^Л'1^, (7.49а)
что эквивалентно равенству
(к \ U (а, Л)| Ф) = eik’a (А~гк | Ф). (7.496)
Поэтому определим закон преобразования для и-частичной амплитуды
следующим образом:
П
(к{, к2. ... кп \ U (а, Л)| Ф) = exp(i 2 кга) (А~%, . . . А'лкп | Ф) =
П
= exp(i2 кга)Фт>(А-1ки ... Л"1^), (7.50)
I
т. е.
п
<&!, к2, ... кп | U (а, А) = (Л'Ось . . . Л~lkn | exp (i 2 куа) .
(7.51)
у=1
Поскольку каждый элемент ограниченной группы Лоренца (detA=l, А°>1) можно
записать как квадрат некоторого элемента {Ь, А'}, т. е. \а, А} = {/>, А'}
{Ь, А'}, а квадрат унитарного и антиунитарного операторов унитарен, то
оператор U (а, А) унитарен, если {а, А} есть элемент ограниченной группы
Лоренца. Поэтому для ограниченных преобразований Лоренца
U* (a, A) —U (а, А)'1 = U ( - A'V А-1), (7.52)
и если взять равенство, сопряженное к (7.51), то
П
U(a,A)\ki, . . ., кп) = ехр (-М 2 Akj-a) | Aki: . . . Акп). (7.53)
3
Таким образом, с конструктивной1) точки зрения, оператор U (а, А)
1) Вспомните обсуждение релятивистской инвариантности в гл. 1. —Прим.
ред.
§ 2. Лоренц-инвариантностъ
165
преобразует одночастичное состояние с импульсом к в состояние с импульсом
Ак и после этого смещает получивп1ееся состояние на величину а. Этого и
следовало ожидать, поскольку при преобразовании Лоренца х' — Ах-\-а
сначала производится однородное преобразование, а затем сдвиг. Такое
истолкование равенства (7.53) вытекает из того, что генератором
бесконечно малых сдвигов является оператор импульса, так что смещенное на
пространственно-временное расстояние а состояние | Ак) получится, если
умножить | Ак) на eiAk'a.
Трансформационные свойства вакуума характеризуются условием
U (а, Л)| 0) = | 0), (7.54)
так как вакуум для всех наблюдателей должен быть одинаковым. Таким
образом, вакуум инвариантен относительно всех преобразований Лоренца. Это
условие непротиворечиво только в том случае, если вакуум есть состояние с
равными нулю энергией и импульсом. Приведенных выше свойств амплитуд,
которые выражают физические характеристики частиц и вакуума, теперь
достаточно для определения трансформационных свойств операторов а* и а*.
Используя представления (7.44), (7.45), замечаем, что
(h, *2, ... кп | U (а, Л)ай| Ф) =
П
= (Л_1/с!, ... А~гкп ] \ Ф) exp (i 2 к^а) ~
з
п
— YnJr 1 {&) А~ 1А)1, ... Л_1/са | Ф) exp(t 2 kj-a) =
j
= (ки k2 ? kn | e -iAh a a (Ak) V (а, Л)| Ф). (7.55)
Равенство (7.55) можно переписать по-другому, если в него ввести
множитель UU-1 — I:
(к{, к2 . .. kn\U (а, Л) щСГ1 (a, A) U (а, А) \ Ф) =
