Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
первоначальной системе координат (г| = 1), то U(is)2 = I, так что U (is)
= U'1 (С) = U* (is) и U (is) — эрмитов оператор. Эрмитовость V (is)
предполагает, что этот оператор соответствует некоторой наблюдаемой.
Однако поскольку оператор U (is) антикоммутирует с Р, он не может
быть включен в полный набор наблюдаемых, описывающих систему, за
исключением случая, когда частицы покоятся. Например, состояние
одной покоящейся частицы есть собственное состояние U (is) с собственным
значением рц:
C,4o)aS|0> = {7(is)aS{7(is)'1|0> = risao*|0>. ' (7.127)
Множитель Tis называют «внутренней» четностью частицы. Аналогично л-
частичное состояние (но)” |0) есть собственное состояние U (is) с
собственным значением (rjs)™-
Рассмотрим далее временнйе отражения. Если при отражении (обращении)
времени х = itx (х'0 = — х0, х' = + х) одночастичное состояние с
положительной энергией должно переходить в одночастичное состояние с
положительной энергией, тогда оператор U (it), вызывающий это
преобразование, должен быть антиунитарным [856]. Если бы преобразование
было унитарным, то одночастичная амплитуда преобразовывалась бы следующим
образом:
{X \ Ф'} = (х ! и (it) \ Ф) = Пт {itx ! Ф), (7.128)
174
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
где т)г = ± 1 — временная четность частицы. Рассмотрим трансформационные
свойства одночастичной амплитуды, когда | Ф) соответствует одночастичному
состоянию с импульсом к, |Ф) = |к).
Так как (х | к) = [2 (2я)3]~1/2ехр (— ik-x), то преобразованной волновой
функцией была бы функция
(re I Ф') = eih»x» eik x, (7.129)
1 /2(2я)з . К !
которая является решением уравнений Клейна -- Гордона с отрицательной
энергией. Поэтому чтобы конечная волновая функция была снова решением с
положительной энергией, мы требуем выполнения соотношения
(х I Ф') = {х 1 и {it) | Ф) = т]т{цх I Ф) = Г)г (ф | itx), (7.130)
т. е. чтобы оператор U (it) был антиунитарным.
Вакуум инвариантен относительно введенной операции
(Ф | U {it) 10) = (0 | Ф) для всех | Ф). (7.131)
Определим закон преобразования для n-частичной амплитуды:
{хи хг, ... хп\ и {it) I Ф) = (Т]т)п(itxu .. . itxn j Ф) =
= (цт)п(Ф|г^1, 0^2, itxn). (7.132)
Тогда получим
и (it) Ф<+> {X) U'Suy1 = лхФ<+) {их), (7.133а)
U {it) ф<_> {х) U {it)'1 = Т1гф(~> {itx), (7.1336)
где U {it) — антиунитарный оператор, т. е.
U{it)a\4)=aU {it)\4), (7.134а)
U {it) (| Т) + | Ф )) = U {it) \4) + U {ц) | Ф), (7.1346)
(Ф, W) = {U{it)W, U{и)Ф). (7.134b)
Часто бывает удобно представлять антиунитарный оператор в виде про-
изведения оператора сопряжения К и некоторого унитарного оператора. Под
оператором сопряжения К мы понимаем оператор, который обладает
свойствами К2 = 1 и (.ЙГФ, ?Й'Ч’') = (Y, Ф). Ясно, что если
оператор
U — антиунитарен, то UK = f" — унитарный оператор, так что произвольный
антиунитарный оператор U всегда можно записать в виде V — YK, где
оператор F* унитарен.
Чтобы пояснить смысл антиунитарного оператора U {it), выведем законы
преобразования операторов ah, а%, заданных в импульсном пространстве,
из соответствующих преобразований для ф(+>(ж) и
ф(~>(ж).
Используя выражение (7.70) и свойство антиунитарного оператора
(7.134а), находим
U {U) Ф(+) {х) U {ityl = \ eikoxo e_ikx U {it) ak U {it)'1 =
^ Ь135а>
fc0>o
•ткуда
U {it) ak U {it)’1 — T]Ta_k. (7.1356>
§ 3. Конфигурационное пространство
175-
Аналогичным образом, используя (7.72) и (7.133а), получаем
U {it) «к U {it)'1 = г]Tatk. (7.135в)
Можно проверить, что в шредингеровской картине каждое состояние
физической системы в момент времени t при обращении времени переходит в
состояние в момент времени — t с обращенными направлениями скоростей
частиц. Инвариантность относительно обращения времени предполагает, что
последнее состояние существует. Таково толкование на языке квантовой
механики классического понятия обращения времени. В случае классической
теории, когда лагранжиан не зависит явно от времени (и содержит только
четные степени импульса), если gt{(), Pi{t) есть возможное движение
системы, то и <?г-(— t), —pi{ — t) также
является возможным движением. Проще говоря, инвариантность относительно
обращения времени утверждает, что если движение возможно по некоторому
направлению в пространстве, то существует другое возможное движение по
тому же самому пути в пространстве, но в обратном направлении.
Мы закончим этот параграф рассмотрением эрмитова оператора поля
Ф (i) = Ф( 1 > (х)+ ф<"> (i), (7.136а)
ф(х) = Ф*(х). (7.1366)
Этот оператор, будучи выражен через операторы ак и ак, имеет
вид
= \ d-^-{ake-ih-x + a?eih-x) (7.137)
и подчиняется уравнению Клейна— Гордона
(? + И2)фИ = 0. (7.138)
Операторы ф<+>(х) и ф<_>(х) являются соответственно положительно-и
отрицательно-частотными частями оператора ф(х). Они могут быть получены
из ф (х) лоренц-инвариантным образом:
ф(±)И = S {^г1'р(^~А(±)(^:с')^}‘1о'‘(4 (7Л39)
а
С другой стороны, если представить ф (х) в виде интеграла Фурье
ф(х)= б {к2 — р2) ф {к), (7.140)
