Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
заметим, что инвариантность одновременного коммутатора А (0, х) = А (0,
Rx) относительно вращений означает, что А (0, х) есть функция х2. Вместе
с условием нечетности А( —ж) = = — А (ж) это дает
А (0, х) = 0, (7.164)
т. е. одновременной коммутатор равен нулю
[ф(ж°, х), ф (ж0, х')] = 0. (7.165)
Действительно, с помощью подходящего преобразования Лоренца всегда можно
сделать так, чтобы у преобразованного пространственно-подобного вектора
х/ = Ах компонента х'0 — 0. Поэтому из равенства А (х) = А (Ах) следует,
что Д(ж)=0 при всех пространственно-подобных х.
Из выражения (7.146а) легко получить другое важное свойство функции А
(ж):
аЛ(^)х_о = —6(3>(х). (7.166)
С
Так как функция А (х) удовлетворяет гиперболическому дифференциальному
уравнению второго порядка, то она однозначно определяется этим
дифференциальным уравнением
(? +Ц2) А (ж) = 0 (7.167)
и начальными условиями при х0 = 0:
а) А (х, 0) = 0, (7.168а;.
б) <7Л68б>
Функция А позволяет найти решение задачи при заданных начальных значениях
(задачи Коши) для уравнения Клейна — Гордона. Пусть g(x) — решение
уравнения Клейна—Гордона, имеющее вид волнового пакета. Если на некоторой
пространственно-подобной поверхности сг0 с нормалью пр. это решение и его
производная принимают значения g0 (х) и d^go (х),
тогда значение g (х) на любой более поздней пространственно-подобной
§ 3. Конфигурационное пространство
179
поверхности дается выражением
g(x) = ^ {Л (х — х^п^д11 g0{x') — n^d^Aix — x')-g0(x')} da (х'). (7.169)
(To
Доказательство: Для функции Гц(х), которая стремится к нулю при |х|—>-оо,
согласно теореме Гаусса, имеем
^ F^ ix') dail (х') — ^ ^ da>l (ж ) = ^ dix’i (7.170)
cr с0 Q
где Q — пространственно-временной объем между а и о0. Пусть
Fjj, (х) = Д (х — х') d'^g (ж') — 9ц А (ж — x')-g(x'). (7.171)
Так как g и А удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, то 9ц(ж') — 0.
Возьмем в качестве а плоскость ж0 = ж'= const, так что нормаль к <т имеет
вид Пц(ж) = (1, 0, 0, 0). Используя свойства Л-функ-ции (7.164) и
(7.166), получаем
J (*') = &(*)> (7.172)
О
откуда, согласно (7.170) и равенству dtlFli(x) — 0,
g(x)=^Fll(x')do»(x'), (7.173)
(То
что и требовалось доказать.
Помимо А (ж), существует другая инвариантная функция Лш (ж), которая
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона, по является четной. Она
обладает следующими свойствами:
(? +Ц2) Л(1) (ж) = 0, (7.174а)
Лш (ж) = А(1> ( — ж), (7.1746)
Интегральное представление для этой функции есть
A<1>(*) = (2S)5 \ 4^eik'Xcos/^o, (7.175а)
fto>0
+ СО
= 5 dike-ih ^(k2-n2). (7.1756)
— со
Функции (точнее, обобщенные функции) А (ж) и А(1> (ж) можно выразить
через элементарные функции, вычисляя интегралы (7.146а) и (7.175а), Так,
при j х ] = г находим, что А (ж) можно записать в виде
Л(х, ж0)= — (2я)3 j) 44 eik'Xsin k°x°
ОС
&о>0
k2 dk sin кг sin к0х0
1/*2-Ьр2 кг
СО
11 ОС rlk j-?
-ШТ-dF ) -у^Щ~гсо8кг5шкохо =
444^(6 ж„). (7.176)
180
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Сделав замену переменной &=psh?/, получаем1)
+ СО
F(r, Zo) = 4 5 ' 1 /.•/. „а cos kr sin (Vft2 + I1'2 Xo) =
— CO 1
+ Л(ц Vxl — г2) ПРИ xo > r,
0 при —- r < :r0 < r, (7.177)
— J0 (ц Yxl — г2) при x0< — r.
Выполнив указанное в равенстве (7.176) дифференцирование, А (а:) можно
записать в форме, в которой видны как ковариантные
свойства, так
и особенности функции А (х) (см. также приложение к статье
Швин-
гера [712]):
А (*) = - 4е {Хо) {б {х2) ~ 40 {х2) ^44 ’ (7Л78)
где 0(у) = 1, если у > 0, и 0(г/) = О, если у < 0. При малых а:2, т. е.
вблизи светового конуса, имеет место следующее разложение:
AW=-^W{8M- Jf0(*2)+...} , (7.179)
где опущены члены, стремящиеся к нулю при а:2—>0. Следовательно, А (а:)
имеет на световом конусе особенность в виде 6-функции, а также конечный
разрыв (скачок).
Используя аналогичную процедуру, можно легко проверить, что
Аш (х, Zo)=~-f ^Ш(г’ *»), (7-180)
где
+ 00
F(V (г, хЛ = —— \ — —__________ cos k0x0 cos kr =
v л J Yk2Jrp2
N0 (Ц Vxl — r2) при \x0\ > r,
— гЯ'1’ (г'ц/r2 — x\) при г > | х0 \
(7.181)
Отметим, что Аш не равна нулю вне светового конуса. При больших
пространственно-подобных расстояниях (т. е. при 7’ > х0) А(1)
экспоненциально убывает. Функцию А(1) можно также записать в виде,
аналогичном равенству (7.178) (см. приложение к статье Швингера [712]).
Здесь мы приведем выражение для функции Аш лишь вблизи светового конуса,
чтобы были видны ее особенности:
Л<1) W {р 4~4111 [ Т (р21ж21)1/2 ] + 4 + • ? •} ’ (7Л82)
+ со
г) Напомним, что J0 (z) = (*/п) ^ sin(zch|3)dp, Jv(z) = (z/2)v ^ (izl2)2i
X
— ОЭ 1 = 0
X [l\T (v + ^+l)]-1, так что в окрестности z — 0 J0 (z) ^ 1 — (z2/4)-f-0
(z4). Напомним,
+ CO
что Jj (z) = — (djdz) J0 (z) и что iV0 (z) = — (l/я) ^ cos (z
ch |3) d$.
§ 4. Связь с теорией поля
181
где Р —главное значение, а у — 0,577 . . . — постоянная Эйлера. Мы опять
пренебрегли членами, стремящимися к нулю при х2—>0.
§ 4. Связь с теорией поля
Весь развитый до сих пор формализм основывался на знании свойств частиц,
