Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 79

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 373 >> Следующая

<0|Ф1(^1 Ф1> = -(5Л^ (7.Ю0)
есть амплитуда вероятности найти частицу в точке q в момент q°. Поэтому
мы интерпретируем состояние Ф?(<?)|0) как состояние одной
§ 3. Конфигурационное пространство
171
частицы, локализованной в точке q в момент времени q°, а состояние
(ге!)_1/2ф* (g°, q2) ••• фГ (q°, qn) I °) — как состояние п
частиц со спином, равным 0, и массой р, локализованных в точках qt, ...
q„ в момент q°. Одновременной коммутатор операторов ф4 и ф* равен
[ф,(д°, q), ф*(^, q')] =^)Г \ А^~ j) (fco^o)V2 е^о-Мчо х
X e-ik.q gii.q' [oft> af] = 6(3) (q - q'). (7.101)
Теперь можно определить оператор Ny числа частиц, находящихся
в трехмерном объеме V в момент времени q°:
Nv{qo)= ^d3q<pl(q0, q) ф2 (g0, q)- (7.102)
V
В силу перестановочных соотношений (7.101)
[TVy (go), Ф1 (q°, q)] = — Ф1 (g°, q) 6 (q c F), (7.103a)
[JVv(?o), Ф? (q°, q)] = + <pt (q°, q)S(qClF), (7.1036)
так что оператор Nv(q0), действуя на ф* (q°, qi) ... . ф*(q°, qn)|0),
воспроизводит это состояние, причем собственное значение равно числу
частиц, локализованных в точках q* объема V.
Представление операторов ф(±> (х) в конфигурационном пространстве можно
получить, если заметить, что в силу перестановочных соотношений (7.74) и
определения базисных векторов (7.90) и (7.94)
ф( ) (х) | Х\, .. . хп) = Уп+\ \ х, хи хг, ... Хп), (7.104)
71
?ф< + )(х) I хи х2, ..., хп) = ikm{x — Xj)\x 1, . .. Xj-U xj+1, ...
xn). (7.105)
1/ n } j=l
Так как
Дй-> (x) = AM (x) = - A(+) ( - x), (7.106)
то, взяв равенства, сопряженные с (7.104) и (7.105), находим
(хи . . . хп |ф<+)(а;)|Ф) =уп+ 1 (х, хи ? ? ? я„|Ф), (7.107)
П
(хи ... хп !ф(-5(ж)|Ф) = -4= у, iAw(Xj — x)(Xi, . . . Xj-u xj+i ...
Xnl<P).
> n j=i
(7.108)
Получив в пространстве Фока представления операторов ф<+) (х) и ф(~)(а:),
проанализируем их трансформационные свойства при преобразованиях Лоренца.
Для ограниченных преобразований Лоренца они просто выводятся из
трансформационных свойств операторов а& и а%:
U{a, A)^+\x)U(a, А)-1 = ? ' -- \ dQ (к) e~ih х U (a, A)ahU(a,A)-1 =
у 2 (2я)з
-= . ' \ dQ(k)e-iAh-Axe~iAh aaAk= —-=L= \ dQ (к’) e-ift'(A*+a)
ak. =
У 2 (2я)3 ? " У 2(2я)з J
+=ф(+)(Лж + й!) (7.109)1)
!) Днак плюс у интеграла соответствует интегрированию по состояниям •с
Ад^>0..— Прим. ред.
172
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
и аналогично
U (а, Л) (х) U (а, Л)-1 = ф(_> (Ах -\-а). (7.110)
Рассмотрим далее трансформационные свойства при отражениях. При
пространственном отражении, х—>х' = isx (х’0 = х0, х'= — х),
одночастичная амплитуда Фш (х) преобразуется следующим образом:
(х [ Ф') = (х I и (is) | Ф) = (isx | Ф), (7.111)
где Tls—il- Знак плюс соответствует скалярной частице, а минус —
псевдоскалярной. Оператор U (is) унитарен, поскольку
(Ф', ?') = i ^й3ж(Ф | isx)d о (isx | ?) = i^d3x (Ф | х) д0 (х | Т) = (Ф,
?). (7.112)
Закон преобразования для «-частичной амплитуды определим в виде
(хи х2, ... хп\ и (ts) I ф> = (Hs)" • • • isXn\ Ф):
(7.113)
а для вакуума положим
и (is) |0) = j0). (7.114)
Чтобы вывести закон преобразования для операторов поля ф(+> и ф(-\
поступим так же, как при выводе равенства (7.57). Помножим U (is) на
.ф(+)(;г) и получим
(хи х2, ... Хп\ и (is) ф(+) (х) | Ф) = (r\s)n (isXi, . . . isxn | ф(+)
(х) | Ф) =
= (я, isxi, . . . isa:n |Ф) =
= 4\sV п 4-1 (isx, хи ... хп | U (is) | ф) =
= ps(^i, .. . х„|ф(+)(15х)?/(15)|Ф), (7.115)
откуда
и (is) ф<+> (х) и (is)-1 = W+) (7.116)
и аналогично, используя свойство Д(+) (isx) = Д(+) (х), имеем
U (is)4<'-)(x)U(is)-1 = 4\s<f('-)(isX). (7.117)
Следовательно, трансформационные свойства операторов ak и а%
при
пространственном отражении можно выразить равенствами
U (is) akU (is)'1 = psa-k, (7.118а)
U (is) atU (is)'1 = PsH-k- (7.1186)
Одночастичное состояние с импульсом к и энергией со (к) при
пространственном отражении преобразуется в состояние с импульсом — к и
энергией со (— к) = со (к).
Доказательство:
U (is) | к) = С/ (is) Нк U (is)'1 U (is) | 0) = аДк ) 0) = | - к).
(7.119)
Гамильтониан инвариантен относительно операции U (is), так как
U (is) HU (is)'1 = Н. Однако полный импульс Р преобразуется как полярный
вектор
U (is) РUfa)'1 = J ^ ka*ka_k = - Р, (7.120а)
+
§ S. Конфигурационное пространство
173
ИЛИ
U{i„)P = -PU(ie). (7.1206)
Приведем явное выражение для оператора ?/(?*) [231]:
= (7Л21)
Чтобы доказать это равенство, заметим, что N— ^ dQ (к) akak коммутирует с
^ dQ (к) а?а_к, так что можно написать
. (7.122)
Мы видели, что
e'2i1sAake '2 ^ = е*2" ^ ak = ir|Sak, (7.123)
так как T)g= ± 1. Используем формулу емАе-м = А + ^[В'А]+№_[В' [5ii4]] +
№[fij [Bj [Bf А}}}+...,
(7.124)
которая получается, если левую часть разложить по к в окрестности
X, = 0, используя формулу Тэйлора. Тогда находим
-i? | d?2(ft)aka-k i" | dfi(ft)aka_k я . . Я . „
,„г,
е г 1 - ake z = akcos — ia_k sm —-= — гя_к. (/.125)
- jL.
Следовательно,
U {is) dk U (is)_1 = r]Sfl_k, (7.126)
что и требовалось доказать.
Поскольку два последовательных отражения соответствуют возвращению к
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed