Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
те
фШ(х)= ^ (-)- к0) д {к2 — р2)ф {к). . (7.141)
Трансформационные свойства ф(х) тривиально получаются из
трансформационных свойств ф(+> (х) и ф(_) (х). При ортохронных
собственных преобразованиях Лоренца ф преобразуется следующим образом:
U {а, А)ф {x)U{a, А)-1 = ф (Ах + а), (7.142)
а при пространственных и временных отражениях:
U {is)<p{x)U{isy1 = r]s(p{isx), (7.143)
U (0) ф {%) U {it)'1 = ПТФ {hx)i (7.144)
где U (0) — антиунитарный оператор.
176
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Перестановочные соотношения для ф(ж) суть
[ф(ж), ф(ж')] = [ф?+) (ж) + ф<—) (ж), ф<+)(ж') + ф(-)(а;')] =
= tA(+) (х — х') + tA(_) (х — х') (7.145а)
= iA(x — x'), (7.1456)
где
д:м- -ф>‘ S *
к о>0
1 (* d4
(2л)з
^ eik'xsinк0х0 (7.146а)
feo>0
= ~-(2^з ^ d4ke (к0) 6 (к2 — р,2) е~ш’х. (7.1466)
При переходе от (7.146а) к (7.1466) было использовано соотношение
e(A:0)6(^-fx2) = T^ {в (Ао — соь) — в (Ач, + cok)}, (7-147)
где е (А0) = 0 (к0) — 0 ( — к0) = к0/j к0 | равно +1 при к0 !> О и
— 1 при
к0 < 0. Из приведенного выше выражения можно вывести важные свой-
ства функции А (х):
А (— х) = — А (-fa:), (7.148а)
А (Ах) = А (х), (7.1486)
(?+ц2)-А(Ж) = 0. (7.148в)
Сингулярную функцию А (х) можно определить как нечетное инвариантное
решение уравнения Клейна — Гордона (см. ниже). Итак, коммутатор (7.145)
является инвариантным с-числом. Об инвариантности коммутатора можно
заключить также из следующих равенств:
V (я, Л) [ф (х), ф (x')]U (а, А)-1 =
= U (а, А) А (х — х') U (а, Л)"1 = А (х — х') —
= [ф (Ах -f а), ф (Ax' -f а)] — А (Ах + а — Ах' — а) =
= А (Л (х-х')) = А (х-х). (7.149)
Наоборот, требование того, чтобы коммутатор был инвариантным с-числом,
фиксирует значение коммутатора с точностью до постоянной. Для
доказательства этого утверждения обозначим правую часть коммутатора через
F (х, х')\
[ф(ж), ф (х')\ = F (х, х'), (7.150)
где F — но предположению инвариантное с-число. Инвариантность
относительно сдвигов требует, чтобы при произвольном а
F (х\ х') = F (х-\-а, ж' + а), (7.151)
так что F может быть функцией только от х — х'. А из инвариантности
относительно собственных однородных преобразований Лоренца следует
F(x) = F( Ах). (7.152)
Так как оператор ф(ж) удовлетворяет уравнению Клейна —Гордона, то этому
же уравнению должна удовлетворять функция F:
(?* + Ц2) [ф(ж), ф(я')1 =0 = (Пж + |х2)/’(ж — х'). (7.153)
§ 3. Конфигурационное пространство
177
Наконец, в силу свойства коммутатора
[<р(ж), <р(ж')]= — [ф(ж'), ф(ж)] (7.154)
функция F должна быть нечетной
F(x-x') = -F(x'-x), (7.155а)
или
F(x)=-F(-x). (7.1556)
Таким образом, F (х) является нечетным инвариантным решением уравнения
Клейна — Гордона. Любую функцию F(x), удовлетворяющую уравнению Клейна —
Гордона, можно записать в виде
F(x)~ ^ <i4/ce—if!-(к2 — ц2)F(k). (7.156)
Отметим, что функция F (к) определена только на «массовой поверхности»
/с2 = ц2, т. е. на гиперболоидах /с0= +]/"к2Ч-ц2. Таким образом, все
допустимые значения вектора к времени-подобны. Из лоренц-инвариант-ности
F (х) теперь следует
F (х) = F (Ах) = ^ б (к2 - ц2) e-^-^F (к) d% =
= ^ б ((Л-1/г)2 — ц2) e~iA~lh ? xF(k) dik =
= J d(k2-\i2)e~ih -*?(AA)d4A, (7.157)
откуда
F(k) = F(Ak). (7.158)
Следовательно, F (к) может быть функцией только двух инвариантов к2 и
в(к0), которые можно построить из времени-подобного вектора к. Запишем
F (к) = Fi (к2) + е (к0) F2 (к2). (7.159)
Из-за наличия множителя б (к2 — ц2) в равенстве (7.156) в определение
F (х) входят значения F i(k2) и Р2 (к2) только при к2 = ц2; поэтому можно
написать
F(x)= J ^кд(к2-ц2)(Р^е(к0)Р2)е~ш-х, (7.160)
где Ft, 2 = ^i. г(ц2) — константы. Далее, требование того, чтобы F(x) = =
—F(—х), дает условие
_/<’(_ х) = - J d^kb (к2 - ц2) (Fl + е (к0) F2) eih-x =
— — ^ dAkб (к2 — ц2) (Ft — е (к0) F2) e~ih'x =
= F(x)~ ^ dikd(k2-n2)(Fl + B(k0)F2)e~ik-x. (7161а)
Следовательно,
F^-F^O, . (7.1616)
так что
F(x)=F2 ^ dike~ih'xd(k2—n2)e(k). (7.162)
178
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Наконец, поскольку оператор <р эрмитов, функция F (х) должна обладать
свойством
F(x) = F(-x) = -F(x), (7.163)
которое получается, если применить эрмитово сопряжение к равенству
(7.150). Следовательно, постоянная F2—чисто мнимая. Таким образом,
утверждение доказано.
Из инвариантности А (х) при собственных однородных преобразованиях
Лоренца и нечетности А (х) можно заключить, что эта функция равна нулю
при пространственно-подобных х2, т. е. при х2 < 0.
Доказательство: Лоренц-инвариантность означает, что А (х) является
функцией только х2 при х2 < 0 и функцией х2 и знака времени е (ж0) ПРИ
ж2>0, т. е. на световом конусе и внутри него. [Напомним, что е (х0) имеет
инвариантный смысл лишь на световом конусе и внутри него.] Таким образом,
при пространственно-подобных х имеем А(х) = —/i^2), но функция от х2 не
может быть нечетной. Следовательно, fl (х2) = 0, что и требовалось
доказать. Внутри светового конуса А (х) должна иметь вид А(х)— &(х0)
f2(x2), т. е. быть нечетной инвариантной функцией. С другой стороны,
