Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
четвертый члены равны нулю в результате интегрирования по сг в силу
ортогональности положительно- и отрицательно-частотных решений уравнения
Клейна — Гордона. Рассмотрим, к примеру, четвертый член. Поскольку ф*(+>
и ф(+> удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, то в качестве
поверхности о, по которой проводится интегрирование, можно выбрать
плоскость х° — const. Подставляя вместо ф*(+) и ф<+> их выражения
(7.269г) и (7.269а), находим
i ^ dav- (х) (ф*(+> (х) д1Хц>(*) (х) — Зйф*(+> (ж)-ф<+> (х)) =
= ^ d3x jj ^ ^ ^Ькак'е-ч,1о+ко)Хое+{(к+ъ'Ух.(к'0-к0)==
+ + 0
= 0, (7.285)
ибо интегрирование по х дает множитель 6(k + k'), из-за которого к0 =
к'0. Точно так же показывается, что третий член равен нулю.
В согласии с выражением (7.2826) для полного заряда оператор тока /и (х)
можно определить в виде
/и(ж)= — 1е:ц*(х)д^<р(х) — д^ц>*(х)-ц(х): . (7.286)
В силу уравнений движения (7.272) ток сохраняется, т. е. д^(х) = 0.
Поэтому полный заряд
Q=^j^(x)dail(x) (7.287)
О
не зависит от времени. Как отмечалось выше, оператор тока
можно
разбить на две части: так называемую «нормальную» часть, которая
диагональна в Ж±-представлении, и «флуктуационную» часть. Последняя
состоит из членов, являющихся произведениями двух операторов рождения или
двух оцераторов уничтожения. Наличие таких членов, соответствующих
рождению и уничтожению пар, с первого взгляда кажется удивительным.
Однако Бор и Розенфельд [70] показали, что эти члены
существенны для того, чтобы заряд в объеме V, ^ /0 (х) d3x = Qv, дейст-
v
вительно соответствовал измеряемому на опыте с использованием
классических распределений заряда и тока.
§ 6. Заряженное скалярное поле
197
Поучительно вычислить среднее значение плотности заряда /0 (х) в
состоянии
= S ^a&~ih’y Vh\Q) = (%(x), Ф'-Ч^Ю), (7.288)
соответствующем положительному мезону, локализованному в точке у в момент
времени у0. Вклад в среднее значение будет давать лишь нормальная часть
/о (х). Флуктуационная часть, действуя на состояние | у; ), либо дает
нуль (члены ф*(+)ф<+)), либо преобразует его в трехчастичное состояние
(члены ф^’ф*-’), которое ортогонально одномезонному состоянию | у\).
Таким образом,
(У* \]'о(х)\У’ ) = ie{y; j фс_) (ж) 90ф*<+> (ж) — 90ф<_) (ж)-ф*<+) (а:) |
г/; ) =
= » (7.289)
и среднее значение не равно нулю при х у. Следовательно, рассматриваемые
частицы не являются точечными зарядами, а имеют заряд, распределенный по
некоторой области, размеры которой порядка комптонов-ской длины волны
частицы (й/цс).
Чтобы установить связь с процедурой квантования поля, описанной ранее для
случая нейтрального поля, заметим, что из перестановочных соотношений
(7.280) и свойства Д-функции (7.168) следует
[90ф(а:), ф*(х')];со-Ч = — гб(3) (х—х') (7.290а)
[д0ф* (z), ф(?')]*„=*- = — г6®(х — х'). (7.2906)
Поэтому определим импульс, канонически сопряженный с ф, как
я (х) — д0ф* (х), (7.291)
а импульс, канонически сопряженный с ф*, как
я* (х) = д0ф'(:г). (7.292)
Действуя в полной аналогии со случаем нейтрального поля, можно
проверить, что гамильтониан имеет вид
Н = d3x : я* [х) я (х) + Тф* (х) • Тф (х) + р2ф* (х) ф (х): (7.293)
и получается из лагранжевой плотности
<5? = : д>.ф* (х)-дх(р (х) — р2ф* (х) ф (х):. (7.294)
Выражение для тензора энергии-импульса теперь есть
T’u.v = : дцф* (х) <Чф (х) + дчц>* (х) дйф (х): — (7.295)
а плотность заряда
g"(;r) = /о (х) = ie :’ф* (х) я* (х) — ф (х) я (х)(7.296)
Одметим также, что оператор тока можно записать в виде
= + ie : Ф (*) - -Щщ Ф* И :• (7-297)
198
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
В § 7 мы увидим, что существование тока /** является следствием
инвариантности лагранжиана относительно калибровочных преобразований:
ф—>е“ф, (7.298а)
Ф* —> e~ic4p*w (7.2986)
Мы покажем также, что 4-вектор /е действительно играет роль тока и заряда
при взаимодействии заряженного скалярного поля с электромагнитным полем.
Между прочим, уже из вида выражения (7.297) следует, что для эрмитова
поля ф* = ф вектор тождественно равен нулю.
Выше мы кратко описали теорию для комплексного поля ф с точки зрения
вторичного квантования. Ее можно получить и квантованием классической
теории, лагранжиан которой определяется выражением
X = дхц>д\ — р2фф. (7.299)
Амплитуда поля ф и комплексно сопряженная величина ф должны
рассматриваться как независимые классические переменные поля.
Варьирование по ф дает уравнение движения для ф:
ЬХ дХ д д% ч п /7 ОАО \
6ф — dtp (О + М- ) Ф (^) 0» (7.300а)
а варьирование по ф дает уравнение поля для ф:
^ = (D+^)<pW = 0. (7.3006)
Оф
Описанная ранее процедура квантования была сформулирована с помощью
действительных полей, которые разлагались по полной
совокупности
действительных ортонормированных функций. Чтобы применить ту же
процедуру в настоящем случае, разобьем ф на действительную и мнимую
части:
ф^ = уг ^фШ ^ + *ф<2) ^ (7.301а)
и
Ф (f) = yf (Фш (*) - i(P<2> (х)). (7.3016)
где фа) и ф(2) — действительны и будут рассматриваться как динамические
