Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 87

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 373 >> Следующая

Тогда (X (х) j ? (?)} является амплитудой вероятности найти наше поле,
характеризуемое вектором состояния | ? (?)), имеющим в момет времени t
конфигурацию % (х). (Для простоты мы используем шредингеровскую картину.)
Амплитуда (X (х) | ?) = ? {%} является функционалом от %.
Введем теперь понятие функциональной производной функционала Р{х}-
Определим
= Ит Нш -i [Р {х (у) + ебк (у - х)} - F {X (у)}], (7.243)
OXW и->0 Е->0 6
где би —любая функция с хорошим поведением, которая при х—>0 переходит в
6-функцию Дирака. Переходить к пределу нужно в указанном порядке.
Например, если
^{Х} = ^ dsxf (х) х (х), (7.244)
х) Этот вопрос обсуждается в гл. 8 и 18. — Прим. ред.
§ 5. Квантованное поле
191
ТО
(7-245)
По другому можно написать:
= J 'Щд &%(x)d3x. (7.246)
Например, поскольку
д% (х) = ^ 6<3) (х — х') д%(х') dsx', (7.247)
то находим
|^- = 6<3>(х-х'). (7.248).
Рассматривая разность между
II(*') г (*» - [(X- *') ] Нг} (7.249)
и П0ЛУчаем
[х(х), _i^-|T] = +ifl<«>(x-x'). (7.250)
Этот результат дает возможность предположить, что в представлении, в
котором оператор <р (х) диагоналей, я (х') имеет вид—iiid/d%(x’).
Доказательство аналогично изложенному в гл. 1 для операторов р и </,
которые удовлетворяют соотношению [q, p] = ih. Поэтому имеем
(X (х) | л (х') 1 W) = (x(x)|Y>. (7.251)
Получим далее явную зависимость состояния без частиц 10) от %(х).
Как мы видели, состояние j 0) характеризуется тем, что ак|0) = 0 при
всех к. Из (7.188а) находим, что вакуум можно характеризовать также
соотношением
^ dsxeik’x (ыкф (х) + гя (х)) | 0) = 0 при всех к (7.252)
или
шкф (х) + ш (х) 10) = 0 при всех х. (7.253)
Здесь сок = У р2 —- V2. Если это равенство скалярно умножить на
вектор (х(х')|, то получим равенство
{“кХ(*) + Ь д^}(х(*')10> = 0, (7.254)
которое можно рассматривать как уравнение с функциональной производной
для амплитуды (х(х')|0).
Решение уравнения (7.254) есть
Фо{0С} = (0С(х)!°> = ^ехр| — ^ ^ X (х') VV - vx' % (х') d*x' j, (7.255)
где Я, —некоторая постоянная, определяющаяся из условия нормировки (0|0)
= 1. Метод функционалов можно распространить на теорию взаимодействующих
полей. Он тесно связан с фейнмановской формулировкой квантовой теории
ноля, в которой амплитуда процесса выражается в виде
192
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
суммы по классическим путям. Изложение и приложения метода функционалов к
задачам теории поля читатель найдет в статьях Фока [264], Симанзика [760]
и лекциях Швингера [722], а также в обзорной статье Новожилова и Тулуба
[590].
§ 6. Заряженное скалярное поле
Рассмотрим теперь обобщение формализма вторичного квантования и
формализма теории поля ца случай системы, состоящей из противоположно
заряженных частиц, имеющих спин, равный 0, и массу р. Состояние системы
будем характеризовать числом положительно и отрицательно заряженных
частиц, их импульсами и энергиями. Пусть базисный вектор \p\Pz ... рт\ qv
... qn) соответствует наличию т положительно заряженных частиц с зарядом
+ е, импульсами р4, р2, ... рт, энергиями ?o(pi), ю (рг), ••• ю (рт) и п
отрицательно заряженных частиц с зарядом — е, импульсами qb q2, . . . qn,
энергиями со (q4), со (q2), ... со (qn). Так как противоположно
заряженные частицы различимы, то этот вектор будет симметричным лишь при
перестановках рг или qj в отдельности. Частицы с зарядом -J- е будем
называть «частицами», а с зарядом — е — «античастицами».
Обозначим через ak, ак операторы уничтожения и рождения положительно
заряженных частиц с импульсом к, а через bk, bk — соответствующие
операторы для отрицательно заряженных частиц. Эти операторы удовлетворяют
перестановочным соотношениям:
К, аМ =М (к— к'), 7 огр\
[ак, аИ = К, аМ=0,
[Ьк, ЬМ = М(к-к'),
[bk, Ьк'] = [Ы, }
где к0= -Ьюк. Поскольку операторы а и b относятся к различным степеням
свободы нашей системы, примем, что они коммутируют друг с другом:
[яю ЬМ = [Щ, V] = 0, (7.258а)
[flk, М = №, ЬМ = 0. (7.2586)
Базисные векторы, выраженные через операторы рождения, имеют вид
I Pi> Р2! • • • Pmi Чь * • ? Чп) у'~п! п j 41 * ? ? п I
®)i (7.259)
где состояние без частиц |0) обладает тем свойством, что
^к | 0) = ак | 0) = 0 при всех к. (7.260)
Операторы числа положительных и отрицательных частиц, 7V+ и N-,
соответственно определяются выражениями
С к
§ 6. Заряженное скалярное поле
193
Уже знакомым способом, используя перестановочные соотношения и свойство
вакуума (7.260), получаем
N+ |pi, ... pm; ql5 ... qn) = m|p1, . . . pm; qt, . .. q„), (7.262a)
N- | pi, ... pm; qi, ... q„) = n|pi, • • • pm; qi, • • ? qn). (7.2626)
Соотношение полнотгл для базисных векторов есть 7 = ] 0) (0| + ^ |
р;) (р; | + ^ 1; q)(; q|+ .. . +
_1_ С d3pi С d3pm С d3qi С d3qn х
' 710 ' Рто J 9io а Япо
X | pi, ... pm; qt, ... q„) (pi, ... pm; qi, ... qn | + ... (7.263)
Можно получить разложение произвольного вектора |Ф) по базисным векторам,
если применить к этому вектору соотношение полноты. Фоковская амплитуда
(рь ... pm; qt, ... q„|CD) соответствует вероятности найти т
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed