Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 86

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 373 >> Следующая

гамильтониана совпадает с полученным из нашего рассмотрения теории
вторичного квантования. Из (7.217) и (7.227) можно вывести выражение для
канонического тензора энергии-импульса:
fnv _ <pB<pV _|_ A. gBV (р,2ф2 _ ф^фХ). (7.231)
Как видно из самой записи, этот тензор симметричен, что связано с тем,
что поле Клейна — Гордона не обладает внутренним моментом количества
движения, т. е. имеет спин, равный 0. К этому вопросу мы вернемся позже,
при общем обсуждении классических теорий поля в § 7.
Чтобы проквантовать классическую теорию поля, наложим квантовые условия:
1Яп (t), qm(t)] = lPn(t), Pm(t)] = 0,
[qn (?)? Pm (^)l =
Умножая эти выражения на t,n (х) и ?m(x), суммируя по п и т и исполь-’
зуя полноту системы функций {?,т}, получим перестановочные соотношения
для операторов ф(я) и л(х), определенных равенствами (7.208)
и (7.213), где qa и рп рассматриваются теперь как операторы:
[ф(х, х°), ф(х', х°)] = [я(х, х°), я(х', х°)] = 0, (7.233)
[ф (х, х°), я(х', х°)] = [ф(х, х°), фо (х', ,х0)] = гйсб<3) (х — х').
(7.234)
§ 4. Связь с теорий поля
189
(Заметьте, что операторы взяты в один и тот же момент времени!) Таким
образом, квантование превращает переменные поля в операторы,
удовлетворяющие перестановочным соотношениям (7.233), (7.234), которые
совпадают с (7.184). Следовательно, мы показали эквивалентность теории
вторичного квантования для системы невзаимодействующих частиц н
квантования классического поля Клейна — Гордона.
Указанная эквивалентность позволяет интерпретировать выражения для
лагранжиана, тензора энергии-импульса, момента количества движения и т.
д. как операторные выражения. Чтобы однозначно перейти от классического
описания к квантовому (однозначно в смысле порядка некоммутирующих
множителей л (х) и ф(я), ибо в классической теории этот порядок
произволен), мы примем, что упомянутые выражения будут записываться в
нормальной форме.
Легко вычислить коммутатор Я ели ф1). Так, поскольку ф (х, х0)
коммутирует с ф(х', х0) и с Vq> (х', х0), то
(ф(т:), Я]=^ ^ Рх'[ф(х, х0), л2(х\ ж0)] =
= у ^ Рх' {я (х\ Хо) [ ф(х), я (х\ т0)] -f
+ [ф(х), л(х', .г0)]я(х', х0)} =
= ihcn(x). (7.235)
Аналогично,
[л (ж), #]=у^ Рх'[п(х), Тф(х', ж0)-Уф (х', ж0) + [Х2ф2 (х', х0)] =
= ihc (Т2ф (ж) — р,2ф (х)). (7.236)
Это согласуется с определением Я, как оператора смещения во времени
ihc d0F (x) = [F (х), Я], (7.237)
так как равенства (7.235) и (7.236) утверждают, что
фо(ж) = л(т) (7.238а)
и
д0л (х) = У2ф (х) — р2ф (х) =
= 92ф (ж) (7.2386)
и эквивалентны уравнениям движения. Наоборот, если Я является оператором
смещения во времени [т. е. справедливо равенство (7.237)], то требование,
чтобы уравнения, полученные вычислением [ф (х);Я\ и [<90ф, Я],
согласовывались с уравнениями движения, вытекающими из вариационного
принципа, предполагает, что должны иметь место канонические
перестановочные соотношения. Перестановочные соотношения можно
рассматривать как требование согласованности для канонического
формализма. Однако нужно подчеркнуть, что канонический формализм допу-
. !) При вычислении [II, ф] и [II, Л] мы пренебрегли тем, что
гамильтониан должен быть взят в нормальной форме, поскольку разность
между гамильтонианом в нормальной форме и неупорядоченным гамильтонианом
для случая рассматриваемого квадратичного гамильтониана является с-числом
и коммутирует с <р к я.
190
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
скает как соотношения коммутации, так и антикоммутации. Действительно,
можно проверить, что если перестановочные соотношения (7.233), (7.234)
заменить соотношениями антикоммутации, то последние тоже будут
обеспечивать эквивалентность (7.237) и уравнений движения. Правильный
выбор перестановочных соотношений для рассматриваемой системы должен быть
сделан на основании некоторых физических принциповх).
Рассмотрим далее соотношения коммутации Pk с я (х) и ф(я):
[ф(ж), = ~ ^Зх'[ф(а;), л (х') фй (х) + фА (х') я (?')]*„'=*„ = Шс
(
(7.239а)
[ji(ir), РД = (7.2396)
дхк
Из этих соотношений следует, что для произвольного оператора F = F (ф, я)
ibc^~ = [F, Pk], (7.240)
так что Pk является генератором бесконечно малых пространственных
сдвигов. В релятивистских обозначениях равенства (7.237) и (7.240) имеют
вид
ihcdpF —[F, РД. (7.241)
§ 5. Квантованное поле
Как было показано, формулировку с помощью вторичного квантования можно
рассматривать как квантованную теорию поля. До сих пор мы имели дело с
описанием посредством амплитуд (йц, к2 ... кп \ Т) или (xi: ...
которые соответствуют вероятности найти данное
число частиц с определенными импульсами или координатами. Но мы могли бы
также интересоваться вероятностью найти поле, имеющее в момент времени х0
конфигурацию /(х), где % (х) — некоторая заданная функция х. В случае
нейтрального эрмитова поля, которое мы рассматриваем, на этот вопрос
можно получить ответ, если иметь собственные функции |х(х)) оператора
поля ф(х):
Ф (х) j X (х)) = X (х) | X (х)). (7.242)
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed