Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
переменные. Выражение лагранжиана классической теории через фш и ф(2>
2
X = y 2 (дРф0)дрф(0 — р2ф(Оф(0) (7.302)
з='
соответствует двум невзаимодействующим скалярным полям. Импульсы,
канонически сопряженные к фО), равны
ЩТ = ^ЦХ) = (РШ{Х), (7.303)
а плотность гамильтониана есть
2
’ = &6 (^ф(3\ ф(5'\ я(0) = ^ л(Оф(з) — X —
3=1
2
= ^ 2 (л(^)2 (х) + ^ф(3) (х) • ТфО> (х) + р2фО)2 (х)). (7.304)'
§ 6. Заряженное скалярное поле
199
Теперь можно провести разложение по полной совокупности действительных
ортонормированных функций ?„(х), определенных равенствами (7.207а) и
(7.2076):
Ф<*>(*) = 2 <#>(*)?*(*) 0 = 1,’2), (7.305)
П
а лагранжиан L — ^ d3xX рассматривать как функцию и q^. Сопряженные с qО)
импульсы равны
= = S d3x^W>(*) L(x)rf3;r= J d3xn^(x%n(x). (7.306)
Наконец, условия квантования выражаются перестановочными соотношениями:
ДОЧО, = (7.307а)
№ 0), (01 = 1№ 0), (01 = о, (7.3076)
где и q$ — теперь эрмитовы операторы. Одновременное перестановочные
соотношения для операторов я(г> и фО) имеют вид
[л(1>(х), <р(ri(x')]Xg=x^= — idijd(3) (х — х')7 (7.308)
причем все остальные одновременные коммутаторы равны нулю. Для
неэрмитовых операторов я, я* и ф, ф*, определенных равенствами
ф (х) = -у=- (фа) (ж) + гф(2) (х)), (7.309а)
ф* (х) = (ф(1) (х) — г‘ф<2) (ж)), (7.3096)
У ^
, v эзе эзе .эзе i , ш, , . (2), u
(a:) = лТГ = лТш г лый = T7T (Фо (*) - ^Фо (*)) =
ко тО
/ 2 1
/2
(яш (х) - гя(2) (а:)), (7.309в)
*, ч эзе .. эзе 1 , а,, . , . (2), ..
я (г) = М = ^+1ЭД5== уТ(фо (ж) + 1ф“ (а!)) =
1 (я(1) (ж) + г'я12) (а:)), (7.309г)
/2
перестановочные соотношения
[ф (г), я 00]Жо=,/0 = г'й(3) (х - х') (7.310а)
И
[ф*(ж), я*(ж')]хо=х, = г6(3)(х — х') . (7.3106)
согласуются с установленными ранее перестановочными соотношениями.
Законы преобразования операторов поля при собственных преобразованиях
Лоренца следующие:
U (а, А) ф (ж) U (а, Л)-1 = ф(Лж + а), (7.311а)
U (а, Л)ф*{x)U(a, Л)-1 = ф* (Лж + а). (7.3116)
Потребуем, чтобы при пространственном отражении частицы переходили
в частицы, а знак их импульса изменялся согласно классическому толкованию
пространственного отражения. Поэтому при отражении ф (х)
200
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
и ф* (я) преобразуются согласно правилам
U (is) ф (х) U (isУ1 = Т1рф (isx) = ррф (х0, — х) (7.312а)
И
U (is) Ф* (х) U (is)'1 = т1Рф* (isx) = Лрф* (х0, — х), (7.3126)
где U (is) — линейный унитарный оператор, а г|р — фазовый множитель.
Заметим, что операция U (is) переводит части операторов поля с
положительной (отрицательной) частотой в части с тем же знаком частоты
[т. е. U (is) переводит ф(±) (х) в г|рф(±) (isx), что можно проверить,
если подействовать оператором проектирования ^ (х) Д(±) (х'—х) д^ на
обе части
равенства (7.312)]. Вакуум можно характеризовать равенством ф(+) (х) | 0)
=; _ ф*<+> ^ j 0) = 0. Отсюда и из упомянутого свойства V (is) следует,
что можно постулировать инвариантность вакуума относительно U (is):
U (is) 10> = |0>, (7.313)
что делает определение U (is) однозначным. Далее, для того чтобы
лагранжиан был инвариантным, т. е. U(is)X(x) U (is)_1 = X (isx), |т]р|2
должно быть равно +1. Можно аргументировать и по-другому. Если операция U
(is) должна отображать операторную алгебру ф, ф* (которая определяется
уравнениями поля и перестановочными соотношениями) саму на себя, то эта
операция должна сохранить неизменными определяющие соотношения, т. е.
уравнения поля и перестановочные соотношения. Чтобы последние оставались
инвариантными, |цР|3 должно быть равно +1, так как
г'Д (х — х')г=и (is) [ф (х), ф* (ж')] U (г*)-1 = | цР |3 [ф (iax), ф*
(isx')\ =
= г | т]Р|2 Д (is(x — x')) = i | г|р|3 Д (х — х'). (7.314)
Мы будем говорить, что теория инвариантна относительно пространственного
отражения, если можно выбрать фазовый множитель т]р так, чтобы операция
отражения при] выбранных фазах коммутировала с гамильтонианом
U (is) (х) U (is)~l = Ш (isx) (7.315)
и сохраняла неизменными определяющие соотношения, т. е. перестановочные
соотношения. Это эквивалентно утверждению, что не существует такого
предсказания теории, которое дало бы возможность отличить правое от
левого. В рассматриваемой теории, где вырожденные одночастичные состояния
полностью определяются спином (равным 0) и зарядом (плюс для частицы и
минус для античастицы), можно выбрать цР= ± 1. Фаза т)р = -j-1
соответствует случаю «скалярных» частиц, а г|р = — 1 —- случаю
«псевдоскалярных» частиц. Далее мы покажем, что бозе-поля характеризуются
тем, что частицы и античастицы имеют одинаковую четность. Для этого
введем разложение операторов поля по полному набору одночастичных
состояний с определенной энергией и моментом количества движения [682].
Разложим ф(я) по решениям ?s (х) уравнения (V2 + k2)?s =0,
соответствующим определенной четности и моменту количества движения:
^(х) = /Д|к|г)УГ(0, Ф) (г = |х|). (7.316)
Здесь У™ — сферические функции, выбранные так, что У™ = (— 1 )тУ"j”, а ji
(J к | r) — сферические функции Бесселя, которые везде регулярны.
