Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Заряженное скалярное поле
201
Предполагается, что функция ?s равна нулю на поверхности достаточно
большой сферы с радиусом R (т. е. такой, что |к|/?>1). Это условие ведет
к тому, что значения 1 к | дискретны. Примем, что функции /)
R
нормированы согласно условию (2/R) ^ (| k \r)2j? (| к ] г) dr = 1. Тогда
раз-
о
ложение оператора ф (х) имеет вид1)
Ф(я)= 2 {а(1к1’ 1> "г)УГ(0, ф)е~г“к‘ +
I к 1, I, ТП
+ fe*(|k|, I, m)Yf(Q, ф) eia>kt] [ к | ]/ A/i(|k|r). (7.317)
Оператор а*(|к|, Z, тп) есть оператор рождения положительно заряженной
частицы с энергией юк =»ф к2 + р,2, полным (орбитальным) моментом
Z(Z+l)?i2 и его третьей компонентой mb. Оператор Ъ* ([ k |, Z, т) —
аналогичный оператор для отрицательно заряженной частицы. Можно
проверить, что гамильтониан Н и оператор полного момента количества
движения М = ^ d3x [хх G] (G —оператор плотности импульса, Gi = Tai)
просто выражаются через a(|k|, I, т), &(|к|, Z, т) и сопряженные им
операторы и что Н, М2 и Ms в действительности диагональны в
представлении, в котором диагональны операторы числа частиц —
= a*k|ima|k|im и 7Vfk|im= fe*k|im&|k|im. Можно получить связь операторов
рождения для состояний с определенным импульсом с операторами рождения
для состояний с определенным моментом количества движения, если сравнить
(7.269) и (7.317). Например,
°° ^
a*(kbjlc7 2 ^Г(к)«*(|к|, I, m). (7.318)
I—0 m=—l
При отражениях
U (is) ф (x) U (is)~1 =
= ^ {U(is)a(\k\, Z, m)U(is)-'YT(Q, ф)е-*“к< +
i k | lm
+ U (is) b*(|k|, Z, m)U (г5)'1УГ(0, Ф) eifflk<} | k | j/A /г (| k | r) =
= Црф (isx) = Цр 2 (a (I k!' т)(-1)(УГ(0, ф)е~Шк‘ +
| k ] lm
+ b*(|k|, Z, m) ( — 1)1У™ (0, ф) e~i<1>kt} | k | А /, (| К \r).
(7.319)
Используя ортонормированность Y™ и /г (| k | г), имеем
и (Zs) k | imU {is) * = Ь|р ( 1) й\ к ] 1т (7.320а)
и
с/ (is) г>| к, zmt/ (г,)-1 = Т!Р( — 1)г&,к| гт. (7.3206)
*) Отметим, что ранее этот оператор автор обозначал через ф* [см.
(7.271)]— Прим ред.
202
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Таким образом, свойства одночастичного состояния a*(|k|, I, m)j0),
связанного с псевдоскалярным полем (цр= — 1), таковы, что отраженное
состояние содержит, помимо множителя, связанного с орбитальным движением,
дополнительный знак минус, указывающий на отрицательную «внутреннюю»
четность. Подобным образом состояние одной античастицы Ь* (| к 11т)
10) при отражении приобретает множитель Г)Р( — 1)(,
так что частица и античастица имеют одинаковую внутреннюю
четность.
Операция слабого, или вигнеровского, обращения времени (операция
обращения движения по те.рминологии Людерса [517, 518]) определяется с
помощью антиунитарного оператора U {it), причем
U (if) ф (х) U (it)-1 = т]тф {itx), (7.321а)
U (it) ф* (ж) U (itГ1 = т]тф* {itx), (7.3216)
U{UY = U (7.321b)
Оператор U (it) должен быть антиунитарным, чтобы сохранить инвариантность
перестановочных соотношений. Действительно, предположим, что обращение
времени определяется с помощью унитарного оператора ТГ {it) с
перечисленными выше свойствами. Тогда перестановочные соотношения
преобразовывались бы следующим образом:
iA {х — х') = Т {it) [ф (ж), ф* (X')] т {ityx =
= I % Г [ф (itx), ф* {цх')\ = iA {it (ж — ж')) | грг |2 =
= —i \ г]т |2 А (ж — х'), (7.322)
что ведет к противоречию, так как нельзя совместить первую и третью
строку равенства (7.322). С другой стороны, если U {it) — антиунитарный
оператор, то
U {it) iU {it)'1 = -i. (7.323)
Поэтому
U {it) [ф (ж), ф* (х')] U {itY1 = — iA {х — х') = — iA (ж — х') =
= — г | Лт Iя А (яг — я:'), (7.324)
и перестановочные соотношения будут инвариантными, если | цт |2 выбрано
равным +1. Можно проверить, что при таком выборе г]т лагранжиан
свободного поля тоже инвариантен. Аналогично, U {it) HU {itY1 — Н, так
что теория инвариантна при обращении времени. Отметим, однако, что
U{it)VU{it)~l=-'P ' (7.325)
и
U {it) MU {itY1 = — М. (7.326)
Определим далее линейную унитарную операцию зарядового сопряжения Uc,
потребовав, чтобы
ис I Pi, р2, • • • pm; qi, • • • qn> = q {п, m) \ qt, . .. qn; рь .. .
pm) (7.327)
и
C/e|0) = |0), (7.328)
где г) = ц {п, тп) — фазовый множитель. Оператор Uc заменяет частицы на
античастицы, оставляя неизменными их импульсы, и не изменяет
§ 7. Законы сохранения и лагранжев формализм
203
достояние вакуума. В частности, при действии на одночастичное
состояние
C^capi I 0) = Uс | pi; ) = UcdpJJc11 0) = r)c [; Pi) —
Tjc^pi I (7.329)
так что можно определить
г/са? г/с1 = Т1с*?: (7-330)
и
т/с^сд1 = р А, (7-331)
ГДе Чс Удовлетворяет условию | т)с |2 = +1 и является зарядовой четностью
частицы *). С другой стороны, можно определить зарядово-сопряженный
оператор фс (х)
фс (х) = С/сф (х) Uc1 = г)сФ* (х) (7.332а)
и
Ф* (х) = Uсф* (х) Uc1 — %;ф (х). (7.3326)
Равенства (7.332) вместе с (7.328) можно рассматривать как определение
Uс- В силу нашего определения X в виде нормального произведения
лагранжева плотность инвариантна относительно зарядового сопряжения
