Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
T3 = e3Jt § d3x<pj (х) ni (х) =
= у ^^{(alk — ia2k)*(alk — ia2k) — (aik + ia2k)*(aik + ia2k)}, (7.388а) =
N+-N- = ~Q. (7.3886)
Через операторы aik вектор Т выражается следующим образом:
Т; = -i ^ ejima* (k) am (k). (7.389)
Так как [Tj, Ti\ = itjimTm, то операторы изотопического спина изоморфны
операторам момента количества движения. Операторы
-j^ {± (ait + «a2k)* a3k + atk (aik ± ia2k)} (7.390)
изменяют собственные значения оператора Т3 на + 1. Классификация
состояний п мезонов с помощью собственных значений Т2 и Т3 проводится в
полной аналогии со случаем момента количества движения. Рассмотрим,
например, двухмезонную систему. Ясно, что состояние | (к±), л+(к2)),
в котором присутствуют два положительно заряженных
мезона с импульсами к( и к2 (Q = 2), является собственным сострянием Тз с
собственным значением 2 и Т2 с собственным значением 2(2+1). (Иногда мы
будем опускать зависимость от импульсов и писать просто I 2я+).)
Поэтому можно написать | Т = 2, Т3 = 2; kb к2) = у== ± (aikl - ia2kl)* -
±= (aik2 - ш2к,)* | 0). (7.391)
Обозначения в левой части очевидны: [|Т = 2, Т3 = 2; кь к2) есть двух-
мезонное состояние с полным изотопическим спином Т == 2 и Т3 = 2.
Состояние \ Т— 2, Т3 = 1; кь к2) получается, если подействовать
оператором Т_ на | 2, 2; kt, к2). Если фазы выбрать так, что
7+1 г, t3) = V(t Zf t3) {t ± /з + l) 11, t3± 1), (7.392)
1A*
212
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
то найдем
Т- | 2, 2; к„ к2) = 2 | 2, 1; к„ к2) = /2
Х + a3k~ a^k7j7f (aik—ia2k)] I11' (к‘)’ л^(ка))==
= — УГ2 (| я+ (к2); ло(к1)) + |л+(к1); л°(к2)>). (7.393)
Аналогично,
Т- | 2, 1; к„ к2) = /б | 2, 0; к„ ка) =
==7'_-~-(|я+(к2); л° (kt)) +1 л+ (к4); я°(к2)» =
— {21; л° (к4), л° (к2)) — | л+ (к2);; я-(к4)) —
““ I л+ (к4); ; я"(к2))} (7.394)
и т. д. Имеются три состояния с 7’ = 1. Ясно, что состояние с Т3=1 (и,
следовательно, с (? = 1) должно быть линейной комбинацией состояний |л+,
я0), т. е.
! 1, 1; kt, k2) = а | я+ (k4); я« (k2)) + b | я+ (k2); fl0(k4)).
(7.395)
Это состояние должно быть ортогональным к состоянию 12, 1; klt k2).
(Отсюда заключаем, что а = — Ъ. Поэтому
11, 1; k4, k2) = -j-i={|n* (k4); яо(к2)) — |л+ (к2); л^>(к1))}.
(7.396)
Поступая так же, как и выше, получаем 11, 0; kl5 к2) = у=-Г_|1, 1; к2,
к2) =
= y={|n+(ki); я-(к2))-|я-(к1); я* (к2))), (7.397)
Л. -1; kt, к2) = -~^Т- | 1,. 0; к4, к2) =
= у^{|л0(к2), я" (к4)) — | я' (к2), я» (к,))}. (7.398)
Существует одно состояние с Т = 0. Поскольку оно должно иметь 7’3 = Q
и равный [нулю заряд, это состояние является линейной комбинацией
состояний *| Я;, я"), |я~, я+) и | я®, я"). Оно должно быть ортогональным
к состояниям 12, 0; kl5 k2) и |1, 0; кь к2). Последнее требование и
определяет вид этой линейной комбинации:
|0, 0; kt, к2) = у|={|я+ (к4); я" (к2)) +1 я* (к2); я"(к1)) —
— | л° (к4); яо(к2))}. (7.399)
ГЛАВА 8
Квантование поли Дирана
§ I. Перестановочные соотношения
Свободное заряженное поле со спином, равным 1/2, описывается
четырехкомпонентным комплексным спинором гр, который удовлетворяет
уравнению Дирака, и при лоренцевых преобразованиях изменяется согласно
соотношению
i|’o(*)-^‘iJ’o(a:') = Siyop(A)%(A'I(a:' — а)) (а=1, 2, 3, 4). (8.1)
Р
Чтобы применить канонический формализм, будем рассматривать четыре
компоненты дираковского спинора ф как независимые динамические
переменные. Главное отличие лагранжиана для поля Дирака от обсуждавшихся
до сих пор лагранжианов заключается в том, что лагранжиан Дирака первого
порядка по д^ф, ибо он должен приводить к дифференциальному уравнению
первого порядка относительно ф. Это ведет к небольшим изменениям
гамильтонова формализма.
Лагранжева плотность имеет вид
X = - ~ ф (— iy* дц + яг) ф - у (t Э^фу^ + нгф)ф . (8.2)
Здесь мы обозначили обратную величину комптоновской длины волны для
дираковской частицы через т. В дальнейшем мы сохраним это обозначение,
чтобы отличать частицу спина, равного 1/2, от частицы со спином, равным
нулю. Массу последней но-прежнему будем обозначать буквой р. Уравнения
движения получаются независимыми варьированиями по ф и ф. В частности,
— + (8.3)
гф яТя тч = • (8' ,)
дхдрЗ^ф) X.
так что вариационное уравнение Эйлера дает уравнение Дирака:
( —1у»1й(1-)-нг)ф = 0. (8.5)
Аналогично, при варьировании по ф получается правильное уравнение для
сопряженного спинора ф. Между прочим, если удовлетворяются волновые
уравнения, то X обращается в нуль.
214
Гл. 8. Квантование поля Дирака
Используя общее выражение для вектора тока и заряда [равенство (7.361)],
получаем вектор тока для поля Дирака
который сохраняется в силу уравнений движения. В частности, из закона
сохранения (х) — 0 следует
Это равенство соответствует сохранению полного заряда.
Как уже отмечалось, X — первого порядка по д0ф. Это ведет к тому, что
канонически сопряженные импульсы не являются независимыми от переменных
поля ф и ф. Поэтому канонический лагранжев формализм непосредственно
неприменим, и к гамильтониану нельзя сразу же перейти. Возникающую
