Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
то, поскольку S и 1]з удовлетворяют уравнению Дирака, <5^7^ (ж) = О, так
что
^ S (ж —ж') уМ"ф (ж') йод (х') = ^ S (х — х') у^ф (х') daд (х'),
(8.66)
Cfl 02
где ot и о2 —пространственно-подобные поверхности. (Мы приняли, что
интеграл по поверхности, соединяющей а4 и о2, равен нулю; так как
предполагается, что эта поверхность находится на больших пространственных
расстояниях, где поля обращаются в нуль.) Если в качестве о2 выбрать
плоскость х° — const, тогда, используя (8.63), имеем
ф (ж) = — i ^ ? (х — х') уИ|> (х') da^ (х'). (8.67)
<ц
Такое же выражение получается и для любой другой пространственноподобной
поверхности, проходящей через х°, так как
^ ? (х - х') у^ф (a:') da„ {х') = 0. (8.68)
С
Пусть читатель проверит, что Sl*) и 6,<_) снова являются операторами
проектирования для положительных и отрицательных частот ф(ж)-Определим
зарядово-сопряженный оператор фс соотношением
фс (я) = СфГ (ж), (8.69)
где С — определенная ранее унитарная матрица, обладающая свойствами
0-^0=-yl (8.70а)
Тогда
так что
Ст=-С. (8.706)
ф (х) = С [фс (а:)]т, (8.71)
Г(*) = С[фП*)]т (8.72)
И
ф(+) (х) = [С^ф'*» (х)]Т. (8.73)
Интерпретация операторов фс±) (х) становится ясной, если разложить
их по плоским волнам с помощью операторов d, d*. Так,
используя
равенство (4.233), находим
2
фс+) И = с [ф(+Чж)]т==~^ ^ d3p (^y/z 2 dr(p)Cvr (р) e~ip,x =
1
|3/2
и точно так же
^d3p C^yh sdr (р) (р) e~ip'x (8-74)
(2"У - г г=1
§ 2. Конфигурационное пространство
223
Следовательно, фс+) — оператор уничтожения, a фс+> — оператор рождения
античастицы. Перестановочные соотношения для них имеют вид
[Фса (*), Й (®')> = - (® - *'). (8.76)
что следует из равенства
[6"16’(±) ( - х) С]Т = - S(T) (х). (8.77)
И вообще можно проверить, что
[фс(я), $с{х')}+ = —iS{x — x'), (8.78)
так как
[СЛ? ( - х) С]Т = - S {х). (8.79)
Операторы числа частиц, выраженные с помощью операторов в
конфигурационном пространстве, даются равенствами
d3an|/+) (х) у°ф<+) (х) = ^ do» {х) ф<+) (х) Y^<+) (х) (8.80)
СТ
И
N1-’ = ^ do» (х) ф<+) (х) у^фс+> (х). (8.81)
О
Выражение для полного заряда
Q = J do» (х) /д (х) = - е (N<+> - 7V(_>) (8.82)
вместе с классическим выражением для тока (8.6) предполагает следующее
определение оператора тока:
/V (х) = - е : ф (х) у^ф (х): = — eN (ф (х) у^ф (х)), (8.83)
где нормальное произведение по определению означает, что произведение
операторов рождения и уничтожения записывается в таком виде, что все
операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения, а нужное
упорядочение выполняется так, как будто все антикоммутаторы равны нулю.
Таким образом, N включает изменение знака, возникающее при изменении
порядка антикоммутирующих переменных поля. Например,
N (ф<+) (х) ф(~’ (у)) = — N (ф1'* (у) ф(+) (х)) — — ф<_) (у) ф(+) (х),
(8.84)
N (ф<+) (х )ф<+) (у)) = — N (ф(+) (у) ф<+) (х)) = — ф(+) (у) ф<+) (х) —
= Ум(х№'(у). (8.85)
По определению, для нормального произведения справедлив распределительный
закон.
Используя определение нормального произведения и перестановочные
соотношения, любое операторное выражение можно записать с помощью
нормальных произведений. Например, разбиение фа {х) фр (у)
Гл. S. Квантование поля Дирака
на нормальные произведения достигается следующим образом:
Фа!(*) Фр (У) = ('Фа ’ (ж) +'фа) (х)) (фз+> (у) + Фз~' {у)) =
= Фа ’ (я) Фз° {У) - Фз_) {У) Фа ’ (*) — iSfe (у — х) +
+ Фа' (*) Фз ’ (У) + Фа’ (ж) ф^> (у) =
= N (фа' (ж) ф^+) (у) + ф?> (ж) ijjjf' (у) + (ж) ^+> (у) +
+ Фа ' (х) Фз° (У)) ~ iSfc (У-Х) =
— N (фа (ж) Фз (у)) — г^за {у — х). (8.86)
При переходе к последней строке мы использовали распределительный закон.
Используя аналогичные алгебраические манипуляции, легко вывести:
Фа (х) фз (У) = N (фа (Я) фз (У)) - iSafi (х - У)’ ф(ж)ф {y) = N (ф (ж) ф
{у)),
ф(ж)ф(?/) = Лг(ф(ж)ф(?/)). (8.87)
Среднее по вакууму от любого нормального произведения равно нулю, в
частности, равно нулю вакуумное среднее от оператора тока, определенного
равенством (8.83). Этого и следует ожидать от любого удовлетворительного
определения оператора тока. Отметим, что это не имеет места для выражения
ефу^ф (ж), среднее по вакууму от которого с использованием (8.8(3) есть
- е (ф (ж) уцф (ж))0 = - е lim ^ (Ф0, ф« (ж) фр (ж') Ф0) (уДаР =
х-+х' ар
= ie lim 2 ^з'а {х — ж') (уДаЗ =
х-+х' ар
= ieSp(yM,5‘-)(0)), (8.88)
т.' е. бесконечно. В действительности эта бесконечность при р = 0 равна
вкладу от заряда «фона» (т. е. вкладу всех занятых состояний с
отрицательной энергией). Разбиение оператора тока на операторы рождения и
уничтожения
in (ж) = — е (ф<+) (ж) у^ф(+) (ж) — ф<+> (ж) у^ф'*’ (ж) +
+ С_1ф^’ (ж) Уцф(+) (ж) + ф(+) (ж) уцСф^’ (ж)) (8.89)
показывает, что опять присутствуют флуктуационные члены, т. е. члены,
отвечающие рождению и уничтожению пар. При интегрировании по некоторой
пространственно-подобной поверхности эти члены обращаются в нуль в силу
ортогональности положительно- и отрицательно-частотных
решений уравнения Дирака, так что ^ ]il(x)da>i(х) сводится к выраже-
