Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 97

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 373 >> Следующая

Q = — е ^ d?xty (х) у°1|з (х) =
2
= - е J d*p ^ W+) (Р) + N? (р)}. (8.24)
(—1
Согласно дираковской теории дырок вакуум | 0) характеризуется тем, что
все состояния с отрицательной энергией заполнены (т. е. (р) | 0) = | 0)
при всех р и всех г), а состояния с положительной энергией свободны (т.
е. У<+,(р)|0) = 0 для всех р и всех г). Поэтому энергия и полный заряд
вакуума даются равенствами
2
Ео = — 2 ^ d*pEv
г= 1
1) Знак заряда в равенстве (8.24) выбран так, что частица имеет заряд —е
а античастица — заряд -j-e. Поэтому теория в таком виде непосредственно
применима к электронам.
§ 1. Перестановочные соотношения
4
<?о = - е 2 S d3P- (8‘25)
г= 1
Ясно, нто эти величины бесконечны. Однако по гипотезе Дирака они
ненаблюдаемы, а наблюдаемы лишь разности Н и Е0, Q и (V
Поэтому
определим наблюдаемую энергию Н' и наблюдаемый полный заряд Q' следующим
образом:
2 2
Я' = Н - Е0 = ^ d3/> 2 W+) (Р) - № (Р)} Е* +5^2 Яр =
Г=1 Г=1
2
= 5 d3p 2 W*’ (Р) + (1 - Nr (Р))} Ер (8.20)
Г=1
И
2
Q' = ? _ Q0 = _ е ^d3p ^ W+) (Р) - (1 - ЛГ‘-> (р))}. (8.27)
Г=1
Равенства (8.26) и (8.27) представляют собой математическую формулировку
нашего предыдущего обсуждения теории дырок. Они явно показывают, что
состояния с отрицательной энергией дают вклад в полный заряд и энергию
только тогда, когда Nr (р) равно нулю, т. е. когда состояния не
заполнены. Вклад в заряд Q от незаполненного состояния с отрицательной
энергией имеет противоположный знак (-|-е) по сравнению с вкладом от
состояний с положительной энергией. С другой стороны, вклад в Н от
незаполненного состояния рг с отрицательной энергией есть -\-Ер.
Следовательно, энергия Н' неотрицательна. Таким образом, отсутствие
частицы с определенным зарядом в состоянии с отрицательной энергией
соответствует наличию частицы с положительной энергией и противоположным
зарядом. В случае электронов эту частицу называют позитроном. а в общем
случае — античастицей.
Необходимо подчеркнуть, что дираковская теория дырок и содержащаяся в ней
вычитательная процедура возможны только благодаря квантованию с
антикоммутаторами, которое ведет к тому, что каждое состояние с
отрицательной энергией может быть занято лишь одной частицей. Отсутствие
положительной определенности энергии в классической теории характерно для
всех теорий для частиц с полуцелым спином. Действительно, если, согласно
Паули [627], наложить на квантованную теорию следующие физические
требования:
1) чтобы коммутировали две любые физические наблюдаемые, относящиеся к
пространственно-временным точкам, разделенным пространственно-подобным
интервалом (условие причинности);
2) чтобы энергия системы была неотрицательной,
тогда можно установить связь между спином и статистикой. Можно показать
[627,628], что квантование теории для частиц с целым спином согласно
антикоммутационным соотношениям Иордана — Вигнера (ведущим к статистике
Ферми—Дирака) нарушает первый постулат, а квантование для частиц с
полуцелым спином с помощью перестановочных соотношений (ведущее к
статистике Бозе — Эйнштейна) нарушает второй постулат.
218
Гл. 8. квантование поля Дирака
Первый постулат можно оправдать тем, что в квантовой теории отсутствие
коммутативности двух операторов, соответствующих наблюдаемым величинам,
означает, что эти величины не могут быть одновременно измерены с любой
точностью. Однако измерения в точках, разделенных пространственно-
подобным интервалом, не могут влиять друг на друга, ибо из требования
релятивистской причинности сигналы (энергия) не могут распространяться со
скоростью, превышающей скорость света. Следовательно, коммутатор
наблюдаемых, разделенных пространственно-подобным интервалом, должен быть
равен нулю. Второй постулат очевиден. Современную версию доказательства
связи между спином и статистикой мы изложим в гл. 18.
Стало обычным переопределять операторы для состояний с отрицательной
энергией1) и обозначать
b3(-p) = d*(p), Ь* (— Р) = <** (р)
ъ*{—p) = di(p)> &*( — р) = <Ыр),
так что перестановочные соотношения (8.15) —(8.16) теперь таковы: №(Р)>
ds (р')]+ = 6rs6(3> (р— р'),
[dr(p), &ЛР')]+=№(Р), Мр')1+ = 0. (8-29)
К(р), W)]+=[<*r*(p), W(p')]+ = o.
• Оператор числа частиц 1 — ( — р) можно выразить через
введенные
операторы:
W (р) = 1 -N? (- р) = 1 - Ъ*г+2 (- р) КМ -P) =
= Ъг+2 (— р) Ъ*г?2 (— р) = d* (р) dr (р). (8.30)
Операторы d*, d есть операторы рождения и уничтожения античастиц, а
оператор 7Vr_)' (р) (штрих мы будем далее опускать) — оператор числа
античастиц. Разложение оператора я): теперь имеет вид
, 2
^ ^ = (2nfH \d3p г 2 & (Р)wT (Р) eiP'x + d* (Р) vT (?) e_ipxb (8-31)
где иг(р) —спинор с отрицательной энергией и импульсом —р. Таким образом,
ф (х) — оператор уничтожения частиц и оператор рождения античастиц. При
такой формулировке теории дырок состояние вакуума |Фо) характеризуется
условием
N(r*) (р) | Фо) = jVJ."0 (р) | Ф0) = 0 (для всех г и всех р). (8.32)
Итак, вакуум обладает равными нулю энергией, зарядом и импульсом и
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed