Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
а
нию (8.82) для полного заряда (см. например, [676, 677]).
Пространство состояний, соответствующее тп частицам и п античастицам,
находящимся на пространственно-подобной поверхности о, натянуто на
базисные векторы
(т\ п!)-1/ат]з(+) (ж,) . . . ф<+) (жт) фс+) (г/а), • ? • Ф^’ (Уп) |Фо),
§ 2. Конфигурационное пространство
225
где все х и у лежат на о. В общем случае состояние с неопределенным
числом частиц и античастиц имеет вид
где предполагается, что амплитуда 4f<m.,l) для т частиц и га античастиц
имеет для каждого аргумента сшшорпый индекс с четырьмя значениями, на
который действуют матрицы у [см., например, равенство (8.92)]. Амплитуда
?<т>п) (ту, ...; . . . у„) антисимметрична но переменным хг и yj в
отдельности, удовлетворяет по каждой из этих переменных уравнению Дирака
и содержит только положительные частоты, ибо
Неприводимое представление перестановочных соотношений, которое
характеризуется существованием состояния без частиц, дается выражениями
Множитель ( — 1)т в выражениях для зарядово-сопряженных оне-раторов
обеспечивает выполнение соотношений антикоммутации {i[)l+)(x), я|)<+)
(х')} = 0 и т. д. (Относительно других представлений перестановочных
соотношений см. [851].)
Легко установить связь обсуждаемой теории поля с теорией Дирака для одной
свободной частицы, описываемой спинором с положительной
15 с. Швебср
т
хр) _ \jr<o,o> | 0) + . . . (п\т\) 1 Д (x.j) i|)<+) (xj)
уМ7.^) X
X Д ( do-'k (yh) xjj<+) (yh) ?(m- n) (;r,, x2, ... xm; yt ... yn) \ 0) +
. . .,
П
h= 1
(8.90)
^"’(Ip ... xnl; y, ... yn) =
= (0 I N СФ (.xt) . . . я]5 (xm) 1|)C (г/i) . . . 1]!C (ym)) | x?) =
= (011|)(+) (x.) . . . гр<+> (xm) if<+> (yt) . . . (ym) | W). (8.91)
(г|)^) (x) T)(m> n) (хщь . . . xmam; y$u . . . yn|3„) =
(ip?’ (я) Чг)(т- ю (хщь'. . . xmam- уiрь . . . yn\3„) =
m
II
(,Фср>(?/)г1г)<'п’")(;г1С!11 ••• zmam\ 7/iPJ, ... y^P) =?--
= Vn+1(-l),n?(m-,l+1) (Xial5 . . . xmam; г/Р, y$u . . . ynp„),
(8.94)
(?/) 4f)<m’ M (^i«i, • ? ? xmam\ уipb . . . 2/„Pn
II
226
Гл. 8. Квантование поля Дирака
энергией. Пусть | Т) — вектор, описывающий одну частицу. Тогда
единственной не равной нулю амплитудой будет
Эта амплитуда удовлетворяет уравнению Дирака, так как ему удовлетворяет
ф(;г). Таким образом, Чг<1>0)(а:) есть «одночастичная» дираков-ская
волновая функция, которую мы подробно рассматривали в гл. 4. Отметим, что
поскольку ф<+> (х) | Ф0) = ф(+> (х) |.Ф0) = 0, то, подставив-равенство
(8.40) в (8.96), получим
т. е., в согласии с нашим предыдущим изложением, Т41’01 (х) есть
суперпозиция решений уравнения Дирака лишь с положительной энергией.
Здесь это автоматическое следствие того, что вакуум есть состояние с
наинизшей энергией. Аналогично, если IT") есть состояние одной
античастицы, то амплитуда ЧД0,1)(а:)
есть_ амплитуда вероятности найти античастицу. Отметим, что ЧД0> 11 (х)
удовлетворяет уравнению Дирака и также представляет собой суперпозицию
решений с положительной энергией, ибо зависимость от времени имеет вид
exp( — iq0x0), причем д0 > 0.
§ 3. Трансформационные свойства
При обсуждении релятивистской инвариантности в гл. 4 мы видели,, что если
одночастичная волновая функция при неоднородных преобразованиях Лоренца
х'=Лх-}-а преобразуется согласно равенству
где S (А) — неособенная 4x4 матрица, действующая на спинорные индексы
функции 1F<1> 01 и удовлетворяющая условиям
тогда уравнение Дирака для одной частицы сохраняет свой вид (форм-
инвариантно). Определим теперь трансформационные свойства операторов
поля, принимая следующий закон преобразования для (т, п)-амплитуды,
описывающей т частиц и п античастиц:
Т1’0> (*) = (Ф0, ф(а:) Т-).
(8.96)
\ d*p V^0"’ 6r(p) ^r(PKip'* (8.97>
2
Г°-1)(а:) = (Ф0, фс (*)?) =
= 2 \d^Vw4 (Фо’ dr (q) W) uS<q) e~iq'r (8-98>
Y,(1>0) (xr) = S (A) Wi1’0> (A’1 (x' - a)),
(8.99)
A-y^ = AvY\
det S = 1,
(8.100a)
(8.1006)
m
n
... , .
(A"1 (*!-<*), a;, ...; ... A"1 (yn - a), p;). (8.101)
§ 3. Трансформационные свойства
227
Как и при обсуждении в гл. 7, мы примем здесь шредингеровский тип
преобразования, при котором преобразуется волновая функция (т. е. вектор
состояния), но наблюдатели как в системе отсчета S, так и н системе S'
используют тот же набор операторов. Такая же процедура* как и в случае
скалярного поля, дает
(U (а, А) (х) U (а, А)~ли (a, A) Wym’1|) (ал, . . . хт\ уи ... уп) =
= 2 s (A)ia' (ф«' (Ля + а) U (а, А) Тг)<тп>п) (ay, . .. хт; уи . . . уп).
(8.102)
а'=1
Здесь было использовано тождество
А (Л) А(+) (Л-1 (у-а)-х)С = А(+) (у - (Ах + a)) CS (А)~1Т, (8.103)
справедливое для ограниченных преобразований Лоренца, и выражения (8.92)
— (8.95). Докажем равенство (8.103). Из (8.55) и (8.52) следует
S ^tu+m)e-ip-x’ (8-104>
Ро>0
откуда
А<+> (Л-1 (у — а) — х) С — — ^ ^ (f + m) Ce~^vМА-цу-ay-x) =
"W" \ ^\4-(^1P) + rn]Ceiv<-v-^-«). (8.105)
Используя (8.100), находим
у • (Л-V) с = A= S (Л)-*yvS (A) Cpv =
= S (Ay'yvC [S (A)Tp1Pv- (8.106)
Поэтому
А<+) (Л-1 (у — а) — х)С =
